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polynome
Bonsoir,
On suppose K=C et on établit l'existence de racines carrées d'un automorphisme f.
On suppose ici que f=
.id+u avec 
C* et u nilpotent d'indice m
1.
Montrer, si PC[X], que P(u)=0 si et seulement si X^m divise P(X)
Déterminer un polynome Pm-1 Cm-1 [X] tq 
(1+x)=Pm-1 (x)+o(x^(m-1))
J'ai pensé que comme u^m=0, (f-.Id)^m=0 donc (X-)^m est un polynome annulateur de f mais ca ne resout pas la question :s
Salut Nightmare, effectivement je n'avais pas pensé. En fait je réfléchissais sur l'autre sens qui ne me parait pas du tout évident :s. As tu des pistes à me proposer ^^?
Le polynôme minimal de u est exactement X^m, il me semble que le polynôme minimal divise tout polynôme annulateur non?
Pour le DL, ca va donner :
(1+x)=1+1/2.x +o(x^(m-1)) non?
Ou je continue jusqu'à l'ordre m-1? Mais si je continue jusqu'à m-1, le résultat est étrange, d'autant plus que je me demande si on a le droit ou pas d'aller jusqu'à m-1 avec une puissance 1/2 xD.
ok donc ca va faire un résultat de la forme :
(1+x)=1+1/2.x-1/8x²+...+ 1/2(1/2-1)(1/2-2)...(1/2-(m-1)+1)/(m-1)! +o(x^(m-1))
Pour la question suivante : montrer que X^m divise 1+X-P²m-1(X)
je mets Pm-1(X) au carré ? Ca va donner un truc enorme °°
oui désolé jai oublié le x^(m-1) donc ca fait
(1+x)=1+1/2.x-1/8x²+...+ 1/2(1/2-1)(1/2-2)...(1/2-(m-1)+1)/(m-1)!.x^(m-1) +o(x^(m-1))
Oui
donc il faut que je calcule le carré de Pm-1 non? Pour ensuite l'associer à u et trouver que Id+u-P²m-1=0?
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