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polynome

Posté par
J-R 03-03-09 à 19:39

bonsoir,

je suis tombé sur 3 exos  exactement semblable et dont je n'ai pas trouvé de solution.

l'un deux:

Citation :
Soient n entier naturel non nul, P\in \mathbb{R}[X] tq deg(P)=n et

\forall k \in \{0,...,n\}, P(k)=2^k

Calculer P(n+1).


si il y a une méthode générale ...

merci

Posté par
infophilere : polynome 03-03-09 à 19:47

Bonsoir ;

Mot clef : Lagrange.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynome 03-03-09 à 19:52

Exact infophile

Posté par
infophilere : polynome 03-03-09 à 19:54

Bonsoir ehlor

Je passe le relai, j'ai du boulot.

Bonne soirée !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynome 03-03-09 à 20:03

C'est ton idée Kévin

Posté par
J-Rre : polynome 03-03-09 à 20:16

ok

je pense que c'est à propos des polynômes d'interpolation de Lagrange (justement (y'avait une rq dans mon cours là dessus mais j'ai fait qu'une application (avec des divisions euclidiennes)).

donc ce que j'ai c'est :

pour chaque k de \{0,...,n\}, il existe un unique polynome L_i de K[X] et un seul tq 3$\left{deg(L_i)\le n \\ \forall i\in \{0,...,n\}, (j\neq i \ => \ \widehat{L_i}(x_j)=0 \\ \widehat{L_i}(x_i)=1

(x_i deux à deux distincts)

et on a : 3$L_i}=\frac{\bigprod_{0\le j \le n, i\neq j} (X-x_j)}{\bigprod_{0\le j \le n, i\neq j} (x_i-x_j)}

je vais voir pour utiliser ça

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynome 03-03-09 à 20:31

Moi je dirai que 3$deg(L_i)=n

Posté par
J-Rre : polynome 04-03-09 à 20:47

je vois bien qu'il faut que je "prolonge mon polynôme".

je me laisse encore jusqu'à demain soir (j'ai pas eu trop le temps de m'y mettre sérieusement).

je demanderais au besoin des pistes.

voilà juste pour tenir au courant ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynome 04-03-09 à 22:19

3$OK

Posté par
J-Rre : polynome 05-03-09 à 16:20

voyons voyons

en fait je tourne la page et chose intéressante :


pour tout (b_0,...,b_n)\in K^{n+1}, il existe un polynome P de K[X] et un seul tel que:

\left{degP\le n \\ \forall i\in \{0,...,n\}, \widehat{P}(x_i)=b_i

et on a: P=\bigsum_{i=0}^nb_iL_i.



ils ne fournissent pas plus d'explications concernant l'existence et unicité de P et des L_i et j'arrive pas à m'en convaincre...




bon alors, je prend 3$L_i=\bigprod_{0\le k\le i, k\neq i}\frac{X-k}{i-k}.

on a alors: P=\bigsum_{i=0}^n 2^iL_i

reste à calculer ces L_i.

si me lance en décomposant:

p_i=\bigprod_{k=0}^{i-1}\frac{X-k}{i-k} \ et \ q_i=\bigprod_{k=i+1}^{n}\frac{X-k}{i-k}

(p_iq_i=L_i)

p_i(n+1)=\frac{(n+1)n(n-1)...(n+2-i)}{(i(i-1)...2}=\frac{(n+1)!}{(n+1-i)i!}=C^i_{n+1}

q_i(n+1)=\frac{(n-i)(n-1-i)...2}{(-1)(-2)...(i-n)}=\frac{(n-i)!}{(-1)^{n-i}(n-i)!}=(-1)^{n-i}

puis,

L_i=(-1)^{n-i}\times C^i_{n+1}

ainsi P(n+1)=-(\bigsum_{i=0}^{n+1} 2^i(-1)^{n+1-i}\times C^i_{n+1})+2^{n+1}=-(2-1)^{n+1}+2^{n+1}

bref \fbox{P(n+1)=2^{n+1}-1}

a priori ...

par contre concernant le résultat que j'utilise je sèche sur une éventuelle preuve.

merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynome 05-03-09 à 19:47

Très bien JR pour le calcul de P(n+1)

Tu as \fbox{P=\Bigsum_{i=0}^n2^iL_i} où \fbox{L_i=\Bigprod_{j=0\\j\neq i}^n\frac{X-j}{i-j}} donc le coefficient de X^n est \fbox{\Bigsum_{i=0}^n\frac{2^i}{\Bigprod_{j=0\\j\neq i}^n(i-j)}=\frac{1}{n!}\Bigsum_{i=0}^n2^i(-1)^{n-i}C_n^i=\frac{1}{n!}\neq0}

Existence et unicité du polynôme d'interpolation de Lagrange :

pour n\in\mathbb{N} et x_0,...,x_n n+1 scalaires distincts on considère l'application 3$\fbox{\Phi : \mathbb{K}_n[X]\to\mathbb{K}^{n+1}\\P\to(P(x_0),...,P(x_n))}

alors \Phi est une application linéaire entre deux \mathbb{K}-espaces vectoriels de même dimension finie n+1

et \Phi est injective car un polynôme de ker\Phi admet n+1 racines distinctes (les x_i) et est de degré au plus n.

on en déduit que \Phi est un isomorphisme sauf erreur bien entendu

Posté par
J-Rre : polynome 05-03-09 à 20:02

merci elhor_abdelali

on attaque l'algèbre linéaire à la rentrée, ça me semblera plus clair...

@+

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynome 05-03-09 à 20:19

C'est sûr JR ! Bonne chance alors !

Posté par
jandri Correcteurre : polynome 05-03-09 à 21:58

Bonjour,

dans le cas où les xi sont régulièrement espacés il est plus simple d'utiliser le polynôme d'interpolation de Newton.
Si on note P_n le polynôme de degré n tel que P_n(k)=2^k pour 0\le k \le n on trouve P_0=1, P_1=1+X, P_2=1+X+\frac{X(X-1)}2.
On montre ensuite par récurrence que P_n=\Bigsum_{k=0}^n {X\choose k}.
On en déduit P_n(n+1)=\Bigsum_{k=0}^n {n+1\choose k}=2^{n+1}-1.

Posté par
J-Rre : polynome 06-03-09 à 13:13

oué il me manque de la culture pour aller chercher ce polynôme...

merci

@+

Posté par
infophilere : polynome 21-09-09 à 17:13

jandri > Tu peux détailler la récurrence s'il te plaît ?

Je viens de découvrir l'interpolation de newton dont les coefficients se calculent par différences divisées. Dans le cas où le pas est constant ça se simplifie beaucoup ? Parce que j'ai calculé P2,P3 etc à chaque fois en appliquant la formule récursive moi...

Merci

Posté par
jandri Correcteurre : polynome 21-09-09 à 21:42

Bonjour infophile,
Dans le cas où on évalue le polynôme aux points 0,1,...,n l'expression du polynôme d'interpolation de Newton est simplement: 4$P=\Bigsum_{k=0}^n \Delta^kP(0) {X \choose k} si on pose \Delta P(X)=P(X+1)-P(X).
Si P(i)=2^i pour 0\le i \le n on déduit par une récurrence facile que \Delta^k P(i)=2^i pour 0\le i \le k, donc \Delta^kP(0)=1 pour tout k.

Posté par
infophilere : polynome 01-10-09 à 18:59

Bonsoir jandri

Oui, je vois, et pour un pas constant h quelconque que devient la formule ?

Merci.

Posté par
jandri Correcteurre : polynome 01-10-09 à 19:30

Bonjour infophile,

C'est la même formule avec un pas constant égal à h et la suite x_k=x_0+kh.
4$P=\Bigsum_{k=0}^n \Delta^kP(x_0) {\frac X h \choose k} en posant:
\Delta P(X)=P(X+h)-P(X) .

Posté par
infophilere : polynome 01-10-09 à 20:03

Ok c'est ce que j'avais, mais je préférais demander confirmation.

L'avantage principal est qu'on peut rajouter des points d'interpolation sans devoir recalculer tous les coefficients. Y'en a-t-il d'autres ? Car au final on obtient le même polynôme d'interpolation que par la méthode de Lagrange.

Merci jandri

Posté par
jandri Correcteurre : polynome 01-10-09 à 21:16

Bonsoir infophile,

J'ai fait une petite erreur dans la formule pour le pas h et le premier point x_0, c'est:
4$P=\Bigsum_{k=0}^n \Delta^kP(x_0) {\frac{ X-x_0} h \choose k}.
L'avantage du polynôme de Newton est de ne pas avoir à recalculer tous les coefficients quand on rajoute un point.


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