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polynome

Posté par
worahj 19-03-09 à 20:43

bonsoir
j'ai un petit problème concernant les polynomes de Tchebychev de seconde espèce il s'agit de trouver Un tel que sin(x)Un(cosx)=sin(nx)
J'ai réussit a expliciter Un grace au formule de Moivre mais je n'arrive a répondre a une question : quelle est le degrès de Un et donner son coefficient dominant ?
la question suivante il s'agit de trouver les racines de Un, ayant trouver celle des polynome de première espèce cette question ne sera pas trop compliquer ce qui me pose pronlème est plutot leur ordre de multiplicité.
Voila en vous remerçiant de vos réponses

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynome 19-03-09 à 22:03

Bonjour ;

si je ne me trompe on peut montrer que 3$\fbox{U_1=1\;,\;U_2=2X\\U_{n+1}=2XU_n-U_{n-1}\;,\;\forall n\ge1}

le degré et le coefficient dominant de U_n se déduisent facilement

Posté par
worahjre : polynome 20-03-09 à 09:37

Bonjour merci de votre explication je pense qu'en posant une recurence sur le degrés d après les caculs des 2 premiers termes deg(un)=n-1 et pour le coefficient dominant de même avec 2^(n-1)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : polynome 20-03-09 à 12:21

OK pour le degré et le coefficient dominant

pour n\ge2 , on vérifie facilement que les \fbox{cos(\frac{k\pi}{n})\;,\;k=1...n-1} sont racines de U_n

d'où 4$\blue\fbox{\forall n\ge2\;,\;U_n(X)=2^{n-1}\Bigprod_{k=1}^{n-1}(X-cos(\frac{k\pi}{n}))}
(en particulier pour n\ge2 , U_n est à racines simples toutes dans ]-1,1[) sauf erreur bien entendu


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