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Polynôme ?

Posté par
masterrr 21-03-09 à 19:02

Bonsoir,

Je voudrais savoir si on peut définir un polynôme 5$ P tel que 5$ P=\cos(X)-(aX+b) avec 5$ a,b deux réels quelconques ? Je me pose des questions concernant le 5$ \cos...

Merci d'avance !

Posté par
ottore : Polynôme ? 21-03-09 à 19:10

Bonjour,
ta question est donc, "P est il un polynôme ?".

Dans ce cas, dérive P deux fois.

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 21-03-09 à 19:18

En fait j'essaye de traiter un exercice sur les espaces euclidiens. Cet exercice est similaire à un autre que nous avons déjà traité en TD. L'exercice traitait de la borne inférieure de l'intégrale de 0 à 1 de (t²-(at+b))². On a alors définit un produit scalaire adapté et on a utilisé le polynôme X²-(aX+b).

Et maintenant j'essaye de résoudre cet exercice avec l'intégrale de 0 à pi de (cos(t)-(at+b))². Donc je me demande si je peux utiliser le polynôme cos(X)-(aX+b), enfin si c'est un polynôme parce que c'est ça mon problème en fait...

J'ai dérivé deux fois, et ?

Posté par
ottore : Polynôme ? 21-03-09 à 21:08

Donc je me demande si je peux utiliser le polynôme cos(X)-(aX+b), enfin si c'est un polynôme parce que c'est ça mon problème en fait...

J'ai dérivé deux fois, et ?

Et à part le polynôme nul, connais tu des polynômes P qui satisfont P"=-P ?

Tu ne sembles pas vraiment comprendre ce que tu fais ...
L'inf de l'intégrale avec tes paramètres te donne justement un genre de distance de cos à l'ensemble des polynômes de degré 1 ...

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 21-03-09 à 22:14

Je ne vois pas comment faire alors...

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 22-03-09 à 08:40

___________________________________________________________________________________________________________

Trouver la borne inférieure, pour 5$ (a,b) \in \mathbb{R}^2, de 5$ \Bigint_0^{\pi} (\cos(t)-(at+b))^2 dt.
___________________________________________________________________________________________________________

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 22-03-09 à 08:46

Voici l'énoncé :_
__________________________________________________________________________________________________________

Trouver la borne inférieure, pour 5$ (a,b) \in \mathbb{R}^2, de 5$ \Bigint_0^{\pi} (\cos(t)-(at+b))^2 dt.
___________________________________________________________________________________________________________

En TD, nous avons traité un exercice similaire. Il s'agit de trouver la borne inférieure de de 5$ \Bigint_0^{1} (t^2-(at+b))^2 dt.

Pour celà, nous nous sommes placés dans 5$ \mathbb{R}_2[X] et on a définit le produit scalaire 5$ <P|Q>=\Bigint_0^{1} P(t)Q(t) dt.

On avait ainsi 5$ f(a,b)=||P||^2.

Le problème c'est qu'ici je ne vois pas dans quel espace me placer ni quel produit scalaire définir à cause du 5$ \cos.

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 08:57

Bonjour,

Quelle est la définition d'un polynôme Masterrr ?

MM

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 22-03-09 à 09:04

C'est une combinaison linéaire de produits de puissances d'une indéterminée (souvent X).
Je ne vois pas où vous voulez en venir ? ...

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 09:12

la fonction cosinus est un polynôme ?

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 09:15

parce que ta première consistait à se demander si la fonction "cosinus" est un polynôme... d'où ma question !

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 22-03-09 à 09:20

Ah non ce n'est pas un polynôme d'où ma dernière question où j'ai posté l'énoncé de mon exercice.

Je ne vois pas dans quel espace me placer ni quel produit scalaire définir... Auriez-vous une idée ?

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 09:21

quant à l'espace vectoriel que tu cherches, prends tout simplement l'espace des fonctions définies sur R (ou [0,pi]) et pour ton "produit scalaire", prends une intégrale de 0 à pi.

MM

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 09:23

Ainsi, si tu appelle ga,b(x)=ax+b

tu auras f(a,b)=||cos - ga,b||²

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 22-03-09 à 09:32

L'ensemble des fonctions continues peut-être ? Du fait de l'intégrale...

Par contre je ne vois pas comment représenter ça "géométriquement". Je m'explique :

Pour l'exercice traité en TD dont j'ai déjà parlé on s'était placé dans \mathbb{R}_2[X]. On avait représenté \mathbb{R}_1[X] par un plan et on avait placé le polynôme X^2 sur une droite.

Mais si, ici, je considère l'ensemble des fonctions continues, il faudrait que je mette at+b dans un plan (de quel espace s'agit-il ?) et cos sur une droite.

C'est difficile d'expliquer un dessin par l'écrit alors j'espère que vous aurez un minimum suivi mon explication...

Merci d'avance.

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 09:37

oui, les fonctions intégrables, bien sûr (elles n'ont pas besoin d'être continues pour être intégrables)

En gros, vous aviez cherché le projeté orthogonal de X² sur le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 1...

Là il faut "projeter" le cosinus... mais nous ne sommes plus en dimension finie !

MM

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 09:43

et avec l'exo sur les polynômes, vous aviez trouvé quoi pour a et b ?

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 22-03-09 à 09:44

On a fait que 2h de cours sur les espaces euclidiens pour le moment, on vient juste de commencer, donc nous n'avons pas encore défini le terme de projection orthogonale mais si on le connaît pour l'avoir déjà utilisé.

Oui, concernant l'exercice du TD, cela revenait à chercher le projeté de X^2 sur le sous-espace \mathbb{R}_1[X].

Donc, ici, je dois projeter le cosinus, d'accord, mais sur quel sous-espace ? Merci !

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 09:48

ben le même !!! c'est à dire le sous-espace des fonctions affines...

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 22-03-09 à 09:49

(On avait trouvé a=1 et b=\frac{1}{6})

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 09:50

bon, et vous aviez fait comment pour déterminer ces valeurs ?

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 22-03-09 à 09:52

Oui, d'accord. En fait je crois que je cherchais comment "écrire" ce sous-espace. Quand on s'était placé dans \mathbb{R}_2[X] on avait "projeté" sur \mathbb{R}_1[X] et là on se place dans C^0([0,\pi]) et on projette sur le sous-espace des fonctions affines. Je cherchais comment "symboliser" ce sous-espace mais en fait on n'en a pas l'utilité !

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 09:54

be non...

reprends la méthode utilisée pour "projeter" X²... et fais le avec "cos(x)"... sur le même sev.. tu devrais trouver a et b

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 22-03-09 à 09:57

On avait procédé en 3 étapes :

1. On a montré qu'il existait 5$ (a_0,b_0) tel que 5$ X^2-(aX+b) \perp \mathbb{R}_1[X].

2. Puis que 5$ \forall (a,b), f(a,b) \ge f(a_0,b_0).

3. Enfin, on a calculé 5$ f(a_0,b0).

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 09:58

ben fais déjà le (1) avec cos(X) à la place de X²

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 10:03

et tu me diras ce que tu obtiens pour a et b

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 22-03-09 à 10:12

On se place dans l'espace des fonctions continues sur 5$ [0,\pi] et on définit : 5$ <g|h>=\Bigint_0^{\pi} g(t)h(t) dt.

On a alors 5$ f(a,b)=\Bigint_0^{\pi} g(t)^2 dt avec 5$ g(t)=cos(t)-(at+b).

Ainsi, 5$ f(a,b)=<g|g>=||g||^2 donc 5$ f(a,b)=||cos(t)-(at+b)||^2.

1. 5$ cos(t)-(at+b) est orthogonal à l'ensemble des fonctions affines continues sur 5$ [0,\pi] si, et seulement si, 5$ cos(t)-(at+b) est orthogonal à 5$ 1 ET à 5$ t.

C'est-à-dire, 5$ <cos(t)-(at+b)|1>=0 ET 5$ <cos(t)-(at+b)|t>=0, soit 5$ a=-\frac{24}{\pi^3} et 5$ b={\frac{12}{\pi^2}}.

Voilà pour la première partie de la réponse. Mon résultat est juste (vérifié avec Maple) mais je voudrais savoir ce que vous pensez de ma rédaction ? Mon professeur a dit qu'il ferait attention à la façon dont nous aurons rédigé cet exercice alors j'attends vos remarques/suggestions.

Merci

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 10:14

très bien... je trouve pareil

et bien voilà !

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 10:15

(il faut quand même montrer avant que c'est un espace vectoriel et qu'on a bien un produit scalaire... mais cela est de la routine...)

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 22-03-09 à 10:26

On a montré dans le cours qu'il s'agit bien d'un produit scalaire donc c'est bon de ce coté !

Sinon niveau rédaction ça va ? Je me posais quelques questions concernant la fait que l'on doit avoir orthogonalité avec 1 et t.

Pour la suite :

2. On a : 5$ cos(t)-(at+b)=(cos(t)-(a_0t+b_0))+((a_0t+b_0)-(at+b)).

Or les deux membres de droite sont orthogonaux donc 5$ ||cos(t)-(at+b)||^2=||...||^2+||cos(t)-(a_0t+b_0)||^2.

Soit 5$ f(a,b)=||...||^2+f(a_0,b_0) donc 5$ f(a,b) \ge f(a_0,b_0).

3. Enfin, 5$ f(a_0,b_0)=\frac{\pi}{2}-\frac{48}{\pi^3}.


Des remarques sur la rédaction ?

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 10:30

pour le 1 cela me paraissait bien... en détaillant bien sûr les calculs intégral pour aboutir aux valeurs de a0 et b0.

pour le 2, cela me paraît bien aussi

Pour le 3, il faut détailler le calcul, mais le résultat est bon.

Voilà ce que j'en pense.

MM

Posté par
masterrrre : Polynôme ? 22-03-09 à 10:33

Oui j'allais détailler les calculs sur ma copie mais sur le forum je n'en voyais pas l'utilité...

C'était surtout les grandes lignes de raisonnement qui m'intéressait parce que c'est ce que va regarder mon professeur en premier.

En tout cas, merci bien pour votre aide et vos conseils.

Je vous souhaite un très bon dimanche !


masterrr

Posté par
MatheuxMatoure : Polynôme ? 22-03-09 à 10:37

oui, j'avais bien compris... les calculs ne s'imposent pas ici... à moins qu'il n'y ait une erreur à trouver !

Ce fût un plaisir de t'aider.

Bon dimanche à toi aussi et bonne continuation,

MM


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