Bonjour,

Utilise le développement de Stirling de ton polynôme autour du point x = 1 :
P(x) = P(1) + (x-1)P'(1) + (x-1)²P"(1)/2! +...+(x-1)ⁿP⁽ⁿ⁾(1)/n!

C'est la formule classique d'un développement de Stirling, à ceci près que, poussé à l'ordre n pour un polynôme de degré n, le reste est nul.

Tu peux aussi le prendre à l'envers, en posant à priori :
P(x) = a0 + a1(x-1) +...+ an(x-1)ⁿ
Donc a0 = P(1)
Dérive, fais x = 1, tu obtiens a1 = P'(1)
Dérive, fais x = 1 tu obtiens a2 = P"(1)/2
etc, jusqu'à an = P⁽ⁿ⁾(1)/n!

merci beaucoup "LeHiboo"
question; veut dire P(X)=

C'est pas LeHiboo, c'est LeHibou, bou, bou
Et pour répondre à ta question, P R₄[X] signifie "P appartient à l'espace vectoriel des polynômes de degré maximum 4 sur .
Maintenant, tu as montré que la famille {1,(X-1),...(X-1)⁴} est une base de cet espace, il est donc légitime de dire que tout polynôme de cet espace peut s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de cette base. C'est exactement ce que tu fais en écrivant qu'il existe des coefficients a0, a1,...a4 tels que P(X) = a0.1 + a1(X-1)+...+a4(X-1)⁴

merciiii infiniment "LeHibou"
Question:
pour déterminer l'écriture d'un polynôme PR₄[X] dans cette base en fonction des valeurs de P,comment faire ?

C'est ce que j'ai écrit dans mon post de 18h18...
Ce sont en fait les valeurs de P et de ses dérivées jusqu'à l'ordre n au point X = 1.

merci encore.
mais je ne comprends pas le fait d'écrire quelque chose dans une base.
ici, on va écrire quoi dans la base
mon prof a écrire chaque élément de  (1,X,X^2,X^3,X^4) comme combinaison linéaire des éléments de ,je sais pas pourquoi ?
désolé pour mes questions,et merci.

{1,X,X²,X³,X⁴} est une base de R₄[X], et il est tout naturel d'écrire dans cette base P(X) = a.1 + b.X + c.X² + d.X³ + e.X⁴. En faisant cela, on traite P(X) comme un vecteur qu'on décrit par ses coordonnées (a,b,c,d,e) dans la base {1,X,X²,X³,X⁴}.

De même, {1,(X-1),(X-1)²,(X-1)³,X(-1)⁴} est une autre base de R₄[X], et il est aussi naturel d'écrire dans cette base P(X) = a'.1 + b'.(X-1) + c'.(X-1)² + d'.(X-1)³ + e'.(X-1)⁴. En faisant cela, on traite toujours P(X) comme un vecteur qu'on décrit par ses coordonnées (a',b',c',d',e') dans la base {1,(X-1),(X-1)²,(X-1)³,X(-1)⁴}

Maintenant, ce que ton prof a dû te demander, ce sont les formule de changement de base entre ces deux bases. On peut exprimer l'une en fonction de l'autre, et réciproquement.
Pour exprimer la base {1,(X-1),(X-1)²,(X-1)³,X(-1)⁴} en fonction de la base {1,X,X²,X³,X⁴}, il suffit d'écrire :
1 = 1
(X-1) = -1 + X
(X-1)² = 1 - 2X + X²
(X-1)³ = -1 + 3X - 3X² + X³
(X-1)⁴ = 1 - 4X + 6X² -6X³ + X⁴
Et on peut obtenir le changement de base réciproque en notant que X = ((X-1) + 1) et en développant les Xⁱ = ((X-1) + 1)ⁱ par les formules du binôme :
1 = 1
X = 1 + (X-1)
X² = ((X-1) +1)² = 1 + 2(X-1) + (X-1)²
X³ = ((X-1) + 1)³ = 1 + 3(X-1) + 3(X-1)² + (X-1)³
X⁴ = ((X-1) + 1)⁴ = 1 + 4(X-1) + 6(X-1)² + 4(X-1)³ + (X-1)⁴

merci mille fois "LeHibou",t'es vraiment super

C'était un plaisir !