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polynome
bonjour à tous , je voudrai quelques renseignement sur cet exercice
je vous remercie par avance pour votre aide
soit L: R[X]->R[X] l'application définie par
L(P)= P"+XP'-2P
1) Montrer que L est une application linaire.
pas de probleme pour cette question
2)soit L(P)=0 Montrer que deg(P)
2
voici comme j'ai procédé pouvez vous me dire si c'est bon
tout d'abord
deg(p")=n-2 ,
deg(p')=n-1
or deg(X)=1
donc deg(Xp')=deg(X)+deg(p')=n-1+1=n
et deg(p)=2 , donc deg(-2p)=n
donc si l(p)=0 on a p"+Xp'-2p=0 ,
donc deg(p")+deg(Xp')-deg(2p)=0 , n-2+n-n=0 donc n=2
donc deg(p)2
mon résonnement est il correct?
3) déterminer le noyau de L
determinons ker(L)
par définition d'un noyaux
on a :
L(p)=0 , p"+Xp'-2p=0 à partir de la je bloque faut t'il résoudre l'équation différentielle que faut il faire ??
4) on considère les sous espace vectoriels de R2[X] suivants :
F = {P
R2[X], P'=0}
G= {PR2[X], P(1)-P'(1)=0}.
1) rappeler la définition d'une somme directe de 2 sous espaces vectoriels d'un meme espace vectoriel.
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel E. On dit que F et G sont en somme directe si et seulement si pour tout élément u de F + G, il existe un unique couple (u1,u2) de F
G tel que u = u1 + u2.
On dit aussi dans ce cas que la somme F + G est directe on la note F
G .
2)
donner une base de F et une base de G
je ne suis pas sur du tout
une base de F se sont tout les polynomes constant donc une base de F est 
une base de G : on peux prendre le monome x qui est une base de F mais je ne suis pas sur ???
3)
montrer que R2[X]=FG .
pour montrer cela il suffie de prouver que F
g={0}
Fg=p'=p(1)-p'(1)=0 donc Fg ={0}
donc f et G est une somme directe donc
R2[X]=FG .
voila je voudrai donc avoir quelque précision merci pour votre aide
Bonjour
2) Je ne compreds pas trop... Regarde simplement que signifie si
; il suffit de voir le terme de plus haut degré de L(P).
3) Tu sais déjà que si L(P)=0, P est de degré au plus 2. Alors prends P de degré 2 et explicite!
4) Une base est formée d'éléments, donc ta réponse n'a aucun sens! essaye encore un peu! Ca a un rapport avec ce qui précède?
pour le 2 je bloque vraiment meme avec votre indication ....
pour le 3 en effet si on prend P de degrès 2
on a donc (ax^2+bx+c)"+x(ax^2+bx+c)'-2(ax^2+bx+c)
=2a+x(2ax+b)-2ax^2-2bx-2c
=2a+2ax^2+bx-2ax^2-2bx-2c
=2a-bx-2c
le noyaux est donc une droite d'équation y=-bx+2a-2c ou x est la variable et a et c sont des constantes?????
pour la 4 la questiion est indépendante des question précédente mais je n'y arrive toujours pas ...
Si , puis
et commz
est de degré strictement inférieur, le terme du plus haut degré de L(P) est
. Par suite L(P)=0 entraine (n-2)=0, donc P est de degré 2.
Si on a bien
. L(P)=0 entraine donc b=0 et a=c. Les éléments du noyau sont donc de la forme
. C'est un sous-espace de dimension 1 de base
.
Pour l'autre exo:
F est formé des polynômes constants, une base est (1).
Si est dans G, on doit avoir (a+b+c)-(2a+b)=0, d'où -a+c=0. Les éléments de G sont de la forme
. Une base:
Comme tu es dans un espace de dimension 3, et que dim F+dim G=3, pour montrer qu'ils sont supplémentaires il suffit de prouver que l'intersection est réduite à {0} ce qui est facile!
Il y a bien un rapport!
merci pour votre réponse j'ai bien compris 
cependant ma réponse à la toute derniere question n'es pas correcte?
Il y a des théorèmes sur les espaces supplémentaires! Si et si
, alors
Si tu ne le sais pas, prouve à la main les deux propriétés de la somme directe, mais ce que tu as écrit ne prouve rien!
merci pour ta réponse
mais ce n'es pas plutot FG = {0}
et justement cette intersection je ne vois pas comment la prouver
merci
Oui, c'est bien . Prends un élément P de l'intersection. Il est dans F donc c'est une constante. P(X)=a. Il est aussi dans G donc P(1)-P'(1)=0. Et alors?
A nouveau tu ne prouves rien! Il ne suffit pas de dire donc... la conslusion.
On part de P(X)=a, on DOIT montrer que a=0.
oui fin ça je l'ai fais de tete en temps normal je l'aurai marquer
on prend p(x)=a or ici p=0 donc a=0 comme dans g on a p(1)-p'(1)=0 forcément f inter g = 0
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