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Polynome annulateur

Posté par
nel59 22-09-09 à 22:15

Soit A la matrice dans la base (1,x,x2) définie par
1   2   1
1   0  -1
1  -2   1
Alors A2 =
4  0  0
0  4  0
0  0  4
Quel est le polynome annulateur de A ? Est-elle diagonalisable ?

Merci de me répondre.
Cordialement

Posté par
nel59re : Polynome annulateur 22-09-09 à 22:17

A2 = 4I donc (A-2I)(A+2I) =  0 ?
Donc le polynome annulateur serait (x-2)(x+2) ?? ou suis-je a coté de la plaque?!

Posté par
gui_toure : Polynome annulateur 22-09-09 à 22:18

Bonsoir (il paraît que c'est poli)

On dit UN polynôme annulateur.

Ici, A²=4I donc X²-4 est UN polynôme annulateur de A.

Pour dire si A est diagonalisable, sers-toi de la condition suffisante "si A annule un poly non nul, scindé, à racines simples alors A est diagonalisable"

Posté par
nel59re : Polynome annulateur 22-09-09 à 22:18

Et comme A est de dimension 3 et que l'on trouve deux valeurs propres A n'est pas diagonalisable ?!

Mais on ne connait pas la multiplicité des racines aussi! je suis perdu...

Posté par
nel59re : Polynome annulateur 22-09-09 à 22:20

Oui mais justement on ne conait pas la multiplicité des racines...
2 et -2 sont racines évidentes mais comment savoir la multiplicité ?

Posté par
gui_toure : Polynome annulateur 22-09-09 à 22:21

C'est pas dit que -2 et 2 soient LES valeurs propres de A !

Sp(A) est inclus dans {-2,2}, c'est tout ce qu'on peut dire.

Citation :
Oui mais justement on ne conait pas la multiplicité des racines...


Tu peux déterminer la dimension des sous-espaces propres pour être fixée.

As-tu vu la condition suffisante que j'ai énoncée en cours ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome annulateur 22-09-09 à 22:25

C'est exact

et elle est diagonalisable dans \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) car admet un polynôme annulateur P(X)=X^2-4 qui est scindé à racines simples dans \mathbb{R}[X]

Posté par
nel59re : Polynome annulateur 22-09-09 à 22:28

Citation :
"si A annule un poly non nul, scindé, à racines simples alors A est diagonalisable"


X2 -4 = (X-2)(X+2)

Je pensai que les racines du polynome caractéristique étaient les valeurs propres de A ...
Une question précedente du problème me demander d'étudier si A est diagonalisable, et j'ai trouver 2 ( de multiplicité 2) et -2 (racine simple) comme valeurs propresdonc A est diagonalisable mais dans ce cas là je ne comprend pas bien la question, à savoir comment à partir du pokynome annulateur on peut déterminer la multiplicité des racines....

Posté par
nel59re : Polynome annulateur 22-09-09 à 22:29

Daccord il me suffit juste d'appliquer la condition suffisante mais alors pourquoi 2 est racines double quand on calcul le polynome caracteristique ?!
Je mélange le polynome carcatéristique et le polynome annulateur, je suis perdu...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome annulateur 22-09-09 à 23:18

Comme on a clairement 4$A=\(\begin{tabular}{ccc}&1&2&1\\&1&0&-1\\&1&-2&1\\\end{tabular}\)\neq\pm2I_3 l'annulateur (unitaire) 3$X^2-4 est de degré minimal c'est donc le polynôme minimal de A

on en déduit que 3$\pm2 sont toutes deux valeurs propres de A

et A étant diagonalisable (par la condition suffisante) elle est semblable à une matrice de la forme \(\begin{tabular}{ccc}&2&0&0\\&0&a&0\\&0&0&-2\\\end{tabular}\)

et comme trace(A)=2 on a A semblable à \(\begin{tabular}{ccc}&2&0&0\\&0&2&0\\&0&0&-2\\\end{tabular}\) sauf erreur bien entendu

Posté par
nel59re : Polynome annulateur 22-09-09 à 23:24

Daccord mais cela veut dire quoi A 2I3 ??

Posté par
nel59re : Polynome annulateur 22-09-09 à 23:32

Cela m'indique que le polynome annulateur est le polynome minimal? quel est le theoreme que vous utilisez ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome annulateur 22-09-09 à 23:35

je note I_3 la matrice unité \(\begin{tabular}{ccc}&1&0&0\\&0&1&0\\&0&0&1\\\end{tabular}\)

donc la notation \pm2I_3 désigne l'une des deux matrices \(\begin{tabular}{ccc}&2&0&0\\&0&2&0\\&0&0&2\\\end{tabular}\) ou \(\begin{tabular}{ccc}&-2&0&0\\&0&-2&0\\&0&0&-2\\\end{tabular}\) sauf erreur bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome annulateur 22-09-09 à 23:37

tu es en sup de quelle filière MPSI ou autre ?

Posté par
nel59re : Polynome annulateur 22-09-09 à 23:41

Je suis en prépa capes ....
Je comprends la notation mais je ne comprends quel théorème vous utilisez pour dire que c'est le polynome minimal?!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome annulateur 22-09-09 à 23:53

il y'a en effet un théorème (je ne sais pas s'il est au programme pour vous) qui affirme que tout polynôme annulateur de A

est multiple d'un unique polynôme unitaire (non constant) appelé polynôme minimal de A

ainsi le polynôme minimal de A divise X^2-4 et n'est ni X-2 ni X+2 puisque A\neq\pm2I_3 donc ...

Posté par
nel59re : Polynome annulateur 22-09-09 à 23:55

mais s'il le divise il est pas forcément égal à  (X-2)(X+2) ??!!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome annulateur 23-09-09 à 00:04

Ah bon ! Et qu'elle autre possibilité il a

Posté par
nel59re : Polynome annulateur 23-09-09 à 00:14

Mais comment expliquer que le plynome minimal n'est pas (X-2)(X+2) désolé la fatigue commence a se faire ressentir et si vous faite tourner en rond je ne comprend plu rien désolé...

Posté par
nel59re : Polynome annulateur 23-09-09 à 00:18

Pardon je voulais pas écrire le produit de (X+2) par (X-2) mais je voulais les écrire séparement.
Enfaite je ne comprends toujours pas comment X^2 -4 est le polynome minimal ?!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Polynome annulateur 23-09-09 à 00:33

Dressons la liste des polynômes unitaires (non constants) qui divisent l'annulateur X^2-4 (le polynôme minimal de A est l'un d'entre eux)

\fbox{1} X-2 il n'annule pas A car A\neq2I_3

\fbox{2} X+2 non plus il n'annule pas A car A\neq-2I_3

\fbox{3} il ne reste que (X-2)(X+2)=X^2-4 et c'est nécessairement le polynôme minimal de A sauf erreur bien entendu

Posté par
nel59re : Polynome annulateur 23-09-09 à 07:28

D'accord ! mais quelle est ici la particularité d'un polynome minimal?!
Je dois savoir juste si elle est diagonalisable pour ce fait je regarde les valeurs propres...
Je ne vois pas en quoi le minimal intervient ici ?


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