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Polynôme caractéristique

Posté par
Cauchy 25-04-08 à 01:03

Bonjour,

juste pour savoir comment vous montrez que le polynôme caractéristique de AB est celui de BA(j'ai en tête deux démos dont une qui ne marche que sur R ou C, enfin globalement c'est la même idée me direz vous).

Posté par
Nightmarere : Polynôme caractéristique 25-04-08 à 01:14

Salut

En remarquant que 3$\rm \(\lambda I_{n}\;A\\B\;I_{n}\)\(-I_{n}\;0\\\;B\;I_{n}\)=\(AB-\lambda I_{n}\;A\\\;\;\;\;\;0\;\;I_{n}\)
et que :
3$\rm \(\lambda I_{n}\;A\\B\;I_{n}\)\(-I_{n}\;A\\\;0\;I_{n}\)=\(-\lambda I_{n}\;\;\;0\\-B\;BA-\lambda I_{n}\)

On passe au déterminant :
3$\rm \det(AB-\lambda I_{n})=(-1)^{n}\|\lambda I_{n}\;A\\\;B\;I_{n}\|
et
3$\rm (-\lambda)^{n}\det(BA-\lambda I_{n})=(-1)^{n}(-\lambda)^{n}\|\lambda I_{n}\;A\\\;B\;I_{n}\|
d'où 3$\rm (-\lambda)^{n} \chi_{BA}(\lambda)=(-\lambda)^{n}\chi_{AB}(\lambda) et on simplifie

Posté par
Cauchyre : Polynôme caractéristique 25-04-08 à 01:17

Salut,

merci me souvenais plus de cette preuve à astuce.

Mais dans ta deuxième égalité ne t'es tu pas trompé sur la place du bloc Id?

Posté par
Nightmarere : Polynôme caractéristique 25-04-08 à 01:19

Sisi, la deuxième matrice est 3$\rm \(-I_{n}\;A\\\;0\;\;-\lambda I_{n}\) au temps pour moi.

Posté par
Cauchyre : Polynôme caractéristique 25-04-08 à 01:39

C'est la preuve officielle? Enfin je veux dire en cours vous avez fait comme ça ou il y en a encore une autre?

Posté par
Ksilverre : Polynôme caractéristique 25-04-08 à 01:40

Salut !


d'ailleurs si tu prouve le résultat sur R ou C (et c'est tres rapide avec la densité de GLn(C)...) ca le prouve automatiquement sur tous corps car cela devient des relations algébrique plus précisement :

les coefficients de det(AB-X) et det(BA-X) sont des polynômes en les coefficient dans A et de B dont les coefficients sont des entier qui ne dépendent pas du corps sur lequel on calcule. et dire que ces polynomes sont égaux sur C ca revient à dire qu'ils ont les memes coeficient et donc qu'ils sont égaux su tous corps.

c'est une idée tres général, et trés Utile...

Posté par
Cauchyre : Polynôme caractéristique 25-04-08 à 01:43

Salut Ksilver,

oui c'est la démonstration à laquelle je pensais et que je trouve bien plus élégante car comme tu le dis c'est une idée générale qui s'utilise souvent


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