Bonsoir,

Il me semble qu'en écrivant la définition du polynôme caractéristique de M en utilisant la matrice de passage d'une base à une autre, ça se démontre assez bien.

cest possible que tu mecrive la demo?

Bonsoir,

Par exemple, si U est la matrice d'un endomorphisme dans une certaine base, le polynôme caractéristique dans cette base est  :
p(x) = det(U-xI)
Avec un changement de base de matrice P, U devient U' :
U' = PUP^-1
U'-xI = PUP^-1 -xI = P(U-xI)P^-1    (car P.I.P^-1 = I)
et le polynome caractéristique devient :
p'(x) = det(U'-Xi) = det(P(U-Xi)P^-1) = det(P).det(U-xI).det(P^-1)
Mais P.P^-1 = I det(P).det(P^-1) = 1
Finalement p'(x) = det(U-xI) = p(x)
Et le polynôme caractéristique est bien invariant par changement de base.

NB Je me suis inspiré d'une "Bible" : le Cours d'algèbre de Roger Godement, §34, n°2.

ok merci beaucoup pour cette demo

P()=det(I-M)=det(I-P^-1M'P)=det(P^-1IP-P^-1M'P)=det(P^-1).det(I-M').det(P)=det(I-M')
avec M' la matrice de f dans une autre base (désolé pour l'absence de rigueur de la démonstration)

Au moins on a sorti à peu près la même

Bonjour à tous

Juste pour m'en mêler... Les valeurs propres de f ne dépendent ... que de f, donc le polynôme caractéristique aussi! (Ca suppose que l'on se place dans un corps algébriquement clos).

Tu es toujours la bienvenue, Camélia !