Niveau maths spé

Polynome caractèristique

Posté par
cygne 06-08-11 à 09:16

Bonjour
dans cette formule de polynome caractéristique pour une matrice (n,n) , on:
p(x)=x^n-s(1)x^(n-1)+s(2)x^(n-2)+......(-1)^(n)s(n) , où les s(k)sont les sommes mineurs prinçipaux d'ordre k , et s(n) eszt le déterminant. Donc s(1) est la traçe est la somme des mineurs d-ordre ( n-1) mais pour les sommes de mineurs d'ordre inférieur comment fait-on ? Pour une matrice (3,3) ça va encore Mais aprés ?
Je donne un example soit la matrice ((1,2,5,4),(3,-1,7,2),(-3,-5,4,9),(3,2,1,4)) Pourrier vous me détailler les calcul , je ne trouve pas du tout le même "truc" que certains logiciel
merçi pour vos réponses

Posté par re : Polynome caractèristique 06-08-11 à 12:00

Salut,

Si j'ai bien compris tu veux qu'on te montre comment trouver le polynome caractéristique de la matrice que tu proposes?

Dans ce cas autant te dire que ta formule est peu pratique.

Si on note A ta matrice le plus simple est de calculer:

$P(X)=det(X\times I_n-A)$

Sauf erreurs.

Posté par Polynome caractèristique 06-08-11 à 12:32

Bonjour,
ton polynôme caractéristique est donc:
$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\sigma(k)X^{n-k}$
avec $\sigma(0)=1$
$\sigma(1)= trace(M)$
$\sigma(n)=det(M)$
Si je comprends bien tu cherches à déterminer pratiquement les différents $\sigma(k)$ distincts des plus classiques.
Tu considères le coefficient $(-1)^{n-k}\sigma(k)$ de $X^{n-k}$
Dans ta matrice initiale tu  supprimes n-k colonnes et les n-k lignes  de même numéro, il te reste donc une matrice kxk dont tu calcules le déterminant, il y a ainsi $n\\k$ déterminants à calculer et dont tu effectues la somme.
Exemple avec ta matrice
$\begin{pmatrix}1&2&5&4&\\3&-1&7&2\\-3&-5&4&9\\3&2&1&4\end{pmatrix}$
tu veux chercher le coefficient de $X^2$ donc  tu supprimes 2 lignes et 2 colonnes de même numéro avec tous les cas   possibles ( $C_1,C_2;L_1,L_2)$ puis $C_1,C_3;L_1,L_3$ etc  tu as donc 6 déterminants à calculer et à additionner;
det $\begin{pmatrix}4&9\\1&4\end{pmatrix}$ +det $\begin{pmatrix}1&5\\-3&4\end{pmatrix}$ +det $\begin{pmatrix}1&4\\3&4\end{pmatrix}$ +det $\begin{pmatrix}-1&2\\2&4\end{pmatrix}$ +det $\begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}$ +det $\begin{pmatrix}-1&7\\-5&4\end{pmatrix}$
Si tu veux le coefficient de X, tu supprimes une ligne et une colonne de même numéro, tu as donc 4 déterminants 3x3 à calculer et à additionner. bon courage!

Posté par Ok 07-08-11 à 07:24

Merci Je croyais cette méthode plus " simple ", jusqu'à (4,4) ça peut encore allé mais après ? Laissons tomber ,c'était juste " comme ça " que je posais la question

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

algèbre en post-bac
28 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Polynome caractèristique

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths