Bonjour,
que sait on sur A ? Son ordre, le fait qu'elle soit réelle ou complexe, etc?

Pourquoi trace et déterminant dans ton titre ?

excusez-moi je n'ai pas été suffisament clair.

A est une matrice carrée réelle d'ordre n

jai parlé de trace et determinant dans le titre car la question suivante demande de prouver que trA est un multiple de a et que DetA est une puissance entiere de a

mais je pense que lon peut repondre à la question suivante seulement si l'on connait la decomposition sur C du polynome caracteristique de A ce dont je n'ai malheuresement aucune idée

si  z  est une racine complexe, son conjugué est l'autre racine

merci  de votre reponse mais je ne vois pas comment determiner ce z en question

la somme des racines d'un polynôme n'a-t--elle pas un lien avec un certain coefficient ?

oui mais on ne parle pas de la decomposition de P mais de celle du polynome caracteristique de A et je ne crois pas que lon a d'information sur les coefficient de ce polynome

tu connais Cayley-Hamilton ?

oui c'est un théoreme qui dit que le polynome caracteristique est polynome annulateur de A.

mais comment à partir de P polynome annulateur on peut determiner le polynome caracteristique?

les racines sont les mêmes seules les multiplicités peuvent changer

ok merci beaucoup je ne le savais pas ca!
donc si j'ai bien compris j'ai juste à determiner les racines complexes de P
Mais comment jen deduit les multiplictés des racines du polymone caracteristique?

tu sais que le polynôme caractéristique est de degré n  et que le minimal est de degré plus petit que 3, d'ailleurs il me semble manquer une hypothèse : dans ton énoncé rien ne dit que  P  est le polynôme minimal .

P est juste un polynome annulateur il est indiqué nulle part que c'est le polynome minimal

Alors je ne pense pas que tu puisse conclure : il se peut que ton polynôme minimal soit  X-a  et alors
le polynôme caractéristique est une puissance de X-a. Maintenant si  P  est le minimal alors le caractéristique à forcément d'autre racines que  a  (celles de P)