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polynome d'hermite

Posté par
polop 21-05-09 à 14:15

Bonjour,
Etablir, pour tout entier naturel n, l'existence et l'unicité d'un polynome Hn tq pour tout x dans R,                 {d^n}/{dx^n}(exp(-x²/2))=(-1)^n Hn(x)exp(-x²/2).
Indicationrouver d'abord l'unicité, puis prouver l'existence par recurrence.Puis conclure
J'ai réussi à prouver l'unicité en considérant 2 polynomes, mais je bloque sur la recurrence.
Si quelqu'un pourrai me mettre sur la piste sa serai sympa.
Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : polynome d'hermite 21-05-09 à 14:19

Bonjour

Il n'y a qu'à dériver...

Posté par
cailloux Correcteurre : polynome d'hermite 21-05-09 à 14:25

Bonjour,

\frac{d^{n+1}\left(e^{-\frac{x^2}{2}}\right)}{dx^{n+1}}=\frac{d\left((-1)^nH_n(x)e^{-\frac{x^2}{2}}\right)}{dx}=(-1)^n\left(H'_n(x)-xH_n(x)\right)e^{-\frac{x^2}{2}}

Si bien que H_{n+1}(x)=(-1)^n\left(H'_n(x)-xH_n(x)\right) avec H_1(x)=-x

Posté par
cailloux Correcteurre : polynome d'hermite 21-05-09 à 14:26

Bonjour Camélia

Posté par
Camélia Correcteurre : polynome d'hermite 21-05-09 à 14:28

Bonjour cailloux (aujourd'hui t'es plus gentil que moi!)

Posté par
polopre : polynome d'hermite 21-05-09 à 16:26

Merci pour l'aide a la question precedente
Aprés on me deamande de déterminer le coefficient dominant et le degré puis d'étudier la parité. je vois que le coeff dominant est 1 et le degré n, mais je vois pas comment demontrer sa??
quand a la parité je vois pa trop...?

Posté par
cailloux Correcteurre : polynome d'hermite 21-05-09 à 18:11

Re,

Une erreur à 14h25:

H_{n+1}(x)=xH_n(x)-H'_n(x) avec H_1(x)=x

Citation :
je vois que le coeff dominant est 1 et le degré n, mais je vois pas comment demontrer sa??


La récurrence toujours avec la relation précédente...

Posté par
polopre : polynome d'hermite 21-05-09 à 20:36

Merci beaucoup
et quelq'un a une idée pour la parité

Posté par
Camélia Correcteurre : polynome d'hermite 22-05-09 à 14:12

Idem! Tu sais que H_1 est impair et ensuite tu regardes par récurrence!


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