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Polynôme d'interpolation de Lagrange

Posté par
eldiablo42 29-03-09 à 16:15

Bonjour à tous !

Je bloque sur le début d'un problème, sur une une question qui ne me parait pourtant pas extrêmement difficile que voici :

Soient n nombres complexes distincts : x1,x2...xn et n nombres complexes y1, y2...yn.
On veut déterminer tous les polynômes P vérifiant : Pour tout i de l'intervalle d'entier (1,n), P(xi)=yi à l'aide de la fraction rationnelle :

F = P / (\prod_{i=1}^n (X-xi)). On note, pour i dans (1,n)  Qi = \prod_{j=1, j\neq i}^n (X-xj) et Li = Qi / (Qi(xi)).

Question : On suppose que P vérifie les conditions. Écrire la décomposition de F en éléments simples à l'aide des polynômes Qi (on notera Q sa partie entière).
En déduire en fonction de Q et des polynôme Qi la forme générale de P.

Merci d'avance !

Posté par
eldiablo42re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 29-03-09 à 17:07

Quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plaît ?

Merci !

Posté par
eldiablo42re : Polynôme d'interpolation de Lagrange 29-03-09 à 18:25

Pas d'idées ? Cette question me bloque pour la suite du problème...

Posté par
jandri Correcteurre : Polynôme d'interpolation de Lagrange 29-03-09 à 21:41

Bonsoir,

C'est simple, on écrit la décomposition de F avec des coefficients indéterminés:
F=Q+\Bigsum_{i=1}^n\frac{a_i}{X-x_i} puis on multiplie l'égalité par X-x_j pour un j fixé; enfin on remplace X par x_j.
On obtient a_j=\frac{P(x_j)}{Q_j(x_j)}.


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