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polynome d'interpolation de Lagrange

Posté par
Zebraline 08-05-09 à 13:37

bonjour,
voilà j'ai un exercie sur le polynome de lagrange et je ne comprend rien du tout
voici l'énoncé :

soit n * et x1,x2,...,xn n réels à deux distincts

on considère la famille de polynomes (Li)1in définie par
pour tout  i[|1,n|] Li(x)=k=1,ki[(x-xk)/(xi-xk)]

1) pour i[|1,n|], déterminer le degré de Li, les racines de Li et Li(xi)

2) montrer que i=1Li=1 (indication : montrer que le polynome T=i=1-1 est le polynome nul)

3) soient b1,b2,...,bn n réels. on cherche un polynome P tel que pour tout i[|1,n|] P(xi)=bi

Montrer que le polynome défini par P=i=1biLi vérifie les conditions demandées.

Application : déterminer un polynome P tel que P(-1)=3, P(1)=-2, P(3)=5 et P(4)=8
(on ne demande pas de simplifier l'expression)


voila je ne comprend même pas les termes dans le produit pouvez vous m'explique comment faire s'il vous plait ???
les produits et les sommes vont jusqu'à n

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 14:33

Bonjour

Pour n=3:

L_1(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_3)(x_2-x_3)}

L_2(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}

L_3(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}

Ce dont il faur se convaincre dans le cas général, c'est que L_i(x_j)=0 si i\neq j et L_i(x_i)=1. Le reste se fait tout seul!

Posté par
Zebralinere : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 14:40

désolée mais je ne comprend pas du tout comment faire la question 1 avec ce que tu as écrit!
j'ai bien compris comment tu trouves L1, L2, et LL3
mais je ne vois pas comment faire pour répondre à la question 1 comment trouver le degré de Li sachant qu'on va jusqu'à n? comment peut on trouver les racines ?

désolée mais je ne vois pas du tout

Posté par
Camélia Correcteurre : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 14:49

Ben, le dénominateur est un nombre et le numérateur est un produit de (n-1) polynômes de degré 1. L_i est de degré n-1 et comme il est déjà décomposé, tu peux lire ses racines!

Posté par
Zebralinere : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 15:03

donc si j'ai bien compris Li est de degré n-1 car c'est un produit de n-1 polynomes et
ses racines sont x1,x2,...,xn-1?

mais quel est la différence entre Li et Li(xi) ?

Posté par
Camélia Correcteurre : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 15:05

Les racines de L_i sont x_1,x_2,...,x_{i-1},x_{i+1},...,x_n. L_i est un polynôme et L_i(x_i) est un nombre!

Posté par
Zebralinere : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 15:13

donc si Li(xi) est un nombre il ne peut pas avoir de racone c'est bien ça ?
désolée je suis dur à la comprenette

Posté par
Camélia Correcteurre : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 15:19

Mais qui a parlé de la racine de L_i(x_i)?

Prends x_1=1, x_2=2, x_3=3 et explicite entièrement les polynômes L_i correspondants!

Posté par
Zebralinere : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 15:36

non mais j'ai une question qui me demande de déterminer les racines de Li(xi)
c'est pour ça

Posté par
Camélia Correcteurre : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 15:53

NON! On te demande les racines de L_i, et la valeur de L_i(x_i)

Posté par
Zebralinere : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 16:39

d'accord j'avais mal conpris désolée

Posté par
Zebralinere : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 17:30

je viens de finir la question 1

mais pour la question 2 au début je pensais qu'on prennais Li(xi)=1 mais en fait on prend Li donc il faut montrer que le polynome = 1 mais comment faire ?

car avec Li(xi) c'étais simple mais la je ne vois pas du tout

Posté par
Zebralinere : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 17:33

à moins que Li(xi)=Li quelque soit la valeur de i ?

Posté par
Zebralinere : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 17:41

ou alors on considère Li-1 comme un polynome

Li est de degré n-1 or avec -1 on lui soustrait un autre polynome (si on met tout au même dénominateur)

donc Li-1 deviens un polynome de degré n donc superieur à Li (le degré)
donc le seul polynome qui vérifie ça c'est le polynom nul soit 0 est ce ca ?

Posté par
Zebralinere : polynome d'interpolation de Lagrange 08-05-09 à 18:40

personne ne peut me répodre?

Posté par
Zebralinere : polynome d'interpolation de Lagrange 09-05-09 à 10:28

ma réponse a la question 2 est elle juste ?

Posté par
Camélia Correcteurre : polynome d'interpolation de Lagrange 09-05-09 à 14:24

NON, regarde les formules! Il est évident que L_i(x_i)=1 (numérateur=dénominateur)


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