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Polynome de Bernstein
Bonjour à tous,
Je fais appel à vous, car je n'arrive pas à démarrer un exercice sur les polynômes de Bernstein, que je n'ai pas l'habitude de manipuler.
Voici l'énoncé :
n étant entier et i un entier inférieur ou égal à n,on appelle fonctions Polynôme de Bernstein de degré n les fonctions définies sur [0,1] par
1a) Donner les expressions lorsque n=4 sous forme de produit de polynômes du premier degré, puis sous forme développée et ordonnée.
1b) Résoudre chacune des équations Pour
Merci d'avance !
Bonjour,
pour 1a) :
remplace n par 4 et i par 0, puis 1, puis 2... jusque 4
B0,4(t)= ...?
B1,4(t)=...?
...
B4,4(t)=...?
Merci , J'obtiens :
B0,4(t)= 0
B1,4(t)=
B2,4(t)=
B3,4(t)=
B4,4(t)= 0
Car j'ai trouvé une formule supplémentaire pour développer :
Ci,n(t)=
Pour B0,4(t) et B4,4(t J'ai un doute ? ce résultat nul est-il logique ?
C'est vrai pour B3,4(t) je trouve :
B3,4(t)=4.t^3.(1-t)
J'avais fait une erreur de calcul.
Pour combi(4,4) combi(0,4) je trouve des Ci,n(t)=0
je ne vois pas ce que vient faire "t" dans ta combinaison !... mais passons !
faux pour i=0 ou 4... revois la définition d'une combinaison
0! = 1 (Merci Wikipédia )
donc B0,4(t)= t.(1-t)^4
B4,4(t)= 6.t^4
J'y suis ? ( Encore merci pour les indications en tout cas)
Ok,donc tout compte fait :
B0,4(t)= (1-t)^4
B4,4(t)= t^4
Pourriez vous juste me le confirmer ? (Après je ne vous dérange plus 
)
ah ben voilà !
mais tu ne m'embêtes pas... (sinon je ne répondrais pas !)
donc tu as les formes factorisées des polynômes pour n=4
on te demande aussi les formes développées
vas-y : donne moi les 5 polynômes corrects (factorisés et développés)
B0,4(t)= (1-t)^4
B1,4(t)= 4t.(1-t)^3
B2,4(t)= 6t².(1-t)²
B3,4(t)= 4t^3.(1-t)
B4,4(t)= t^4
En forme developpée :
B0,4(t)= [(1-t)².(1-t)²] = (1-2t+t²-t+2t²-t^3) = t^3+3t²-3t+1
B1,4(t)= 4t.[(1-t).(1-t)²] = 4t.[(1-t).(1-2t+t²)] = 4t.[1-2t+t²-t+2t²-t^3]
= 4t.[1-3t +3t²-t^3] = 4t-12t²+12t^3-4t^4
B2,4(t)= 6t².(1-2t+t²) = 6t²-12t^3+6t^4
B3,4(t)= 4t^3-4t^4
B4,4(t)= t^4
C'est bien ça qui est demandé ?
B0,4(t)= [(1-t)².(1-t)²]= [(1-2t+t²).(1-2t+t²)]
= [1-2t²+t²+4t²-2t^3+t²-2t^3+t^4] = t^4 - 4t^3 + 4t² + 1
Ca me semble plus juste !
(On mettra mes erreurs sur le dos de la fatigue )
B0,4(t)= [(1-t)².(1-t)²]= [(1-2t+t²).(1-2t+t²)]
B0,4(t)= [1-2t+t²-2t+4t²-2t^3+t²-2t^3+t^4] = t^4 - 4t^3 + 6t²- 4t + 1
mieux ?
Ca me coûte toujours très cher, les erreurs de calcul ou d'inattention 
En tout cas, je te remercis pour ta patience et pour les multiples corrections !
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