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Polynome de Tchebichev
Exercice :
Montrer qu'il existe un polynôme Tn(X) à coefficients réels tel que cos(n
)=Tn(cos()), de degré n et de coefficient dominant 2^(n-1). En déduire le calcul de 
[de k=0 à(n-1)] Cos(
/2n + k/n)
Soit P
[X] unitaire de degré n; montrer que sup(x[-1,1] |P(x)| 
1/(2^n-1)
(j'aime bien prendre de l'avance sur mon programme mais j'ai besoin d'aide et d'indication, Merci à tous pour la lecture)
Cordialement MA-T-H
Bonjour,
L'existence de Tn peut se démontrer en utilisant la formule de Moivre et le développement d'une puissande du binôme :
tu introduis un terme complexe isin(nt) de la façon suivante :
cos(nt)+isin(nt) = exp(int) = (exp(it))^n = (cost+isint)^n
Ce que tu cherches est la partie réelle du développement.
Tu peux développer avec la formule que tu connais avec les coefficients binomiaux. En y regardant bien, tu verras que la partie réelle ne contient que des puissances de cos(t) et des puissances paires de sin(t). Cela vient du fait que seules les puissances paires de i sont réelles. Or les puissances paires de sin(t) peuvent s'exprimer en puissance de cos(t) par sin²(t) = 1-cos²(t). Ca te suffit pour conclure à la propriété demandée.
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