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polynôme de tchebychev 2

Posté par
Stemba 16-06-09 à 00:59

Bonsoir,

je bloque sur cette exercice:

Soit x appartient à [-1,1], on pose x=cos(), [0,] et soit p=2q+1 un entier impair.
Montrer que:
x^{p}=(cos(2q+1)+C(1 haut 2q+1 bas) cos(2q-1)+...+C(q  2q+1) cos()

voilà ce que j'ai fait:

(cos )^{2q+1}=\frac{({e^{i phi}+e^{-i phi}}}{2} )^{2q+1}
=\frac{1}{2^{2q+1}}(e^{i Phi} +e^{-i Phi})^{2q+1}

=\frac{1}{2^{2q+1}}((de k=0 à 2q+1) C( k haut 2q+1 bas) (e^{i Phi})^{2q+1-k} (e^{-i Phi})^{k}

=\frac{1}{2^{2q+1}}(e^{i Phi (2q+1)}+C(1 2q+1) e^{i Phi(2q)} e^{-i Phi}+...+C(2+1 2q) e^{i Phi} e^{-i Phi(2q)} + e^{-i Phi(2q+1)}


2cos Phi=e^{i Phi} + e^{-i phi}
on remplace pour faire apparaitre les cos

=\frac{1}{2^{2q+1}}(2cos(2q+1)Phi - e^{-i Phi (2q+1)}+C(1 2q+1) (2cos Phi (2q) - e^{-i Phi(2q)})(2cos Phi - e^{i Phi})+...+C(2q+1 2q) (2cos Phi-e^{-i Phi})(2cos Phi(2q)- e^{i Phi(2q)} +(2cos Phi(2q+1)- e^{i Phi(2q+1)})

je sait ensuite qu'on garde que la partie réel car cosinus donc sa va éliminer les imaginaires !

le 1er terme et le dernier ne pose pas de problème, je retrouve bien la formule mais entre les 2, je ne sait pas comment développer les termes pour me retrouver comme dans la formule.

Help, pouvez vous me débloquer !

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
pythamedere : polynôme de tchebychev 2 16-06-09 à 08:09

\displaystyle \Large [\cos(\phi)]^{2q+1}=[\frac{e^{i\phi}+e^{-i\phi}}{2}]^{2q+1}=(\frac{1}{2^{2q+1}})[\sum_{k=0}^{2q+1}\,C_{2q+1}^k\,e^{i\phi\times (2q+1-k)}e^{-i\phi k}}]=(\frac{1}{2^{2q+1}})[\sum_{k=0}^{2q+1}\,C_{2q+1}^k\,e^{i\phi\times (2q+1-2k)}]
\displaystyle \Large [\cos(\phi)]^{2q+1}=(\frac{1}{2^{2q+1}})[\sum_{k=0}^{q}\,C_{2q+1}^k\,e^{i\phi\times (2q+1-2k)}+\sum_{k=q+1}^{2q+1}\,C_{2q+1}^k\,e^{i\phi\times (2q+1-2k)}]

Or, en posant k'=2q+1-k, soit k=2q+1-k', on a :

\displaystyle \Large C_{2q+1}^k=C_{2q+1}^{k'}
et
\displaystyle \Large e^{i\phi\times (2q+1-2k)}=e^{i\phi\times (2q+1-2(2q+1-k')}=e^{i\phi\times (-(2q+1-2k'))}

Par conséquent :

\displaystyle \Large \sum_{k=q+1}^{2q+1}\,C_{2q+1}^k\,e^{i\phi\times (2q+1-2k)}]=\,\,\,\,\sum_{k'=2q+1-q-1}^{0}\,C_{2q+1}^{k'}\,e^{i\phi\times (-(2q+1-2k'))}]=\sum_{k'=q}^{0}\,C_{2q+1}^{k'}\,e^{i\phi\times (-(2q+1-2k'))}]=\sum_{k'=0}^{q}\,C_{2q+1}^{k'}\,e^{i\phi\times (-(2q+1-2k'))}]

On a donc :

\displaystyle \Large [\cos(\phi)]^{2q+1}=(\frac{1}{2^{2q+1}})[\sum_{k=0}^{q}\,C_{2q+1}^k\,e^{i\phi\times (2q+1-2k)}+\sum_{k'=0}^{q}\,C_{2q+1}^{k'}\,e^{i\phi\times (-(2q+1-2k'))}]]

\displaystyle \Large [\cos(\phi)]^{2q+1}=(\frac{1}{2^{2q+1}})[\sum_{k=0}^{q}\,C_{2q+1}^k\,\{e^{i\phi\times (2q+1-2k)}+e^{-i\phi\times (2q+1-2k)}\}]

Et comme \displaystyle \Large e^{i\phi\times (2q+1-2k)}+e^{-i\phi\times (2q+1-2k)}=2\cos(\phi\times (2q+1-2k)),

\displaystyle \Large [\cos(\phi)]^{2q+1}=(\frac{1}{2^{2q+1}})[\sum_{k=0}^{q}\,C_{2q+1}^k\,2\cos(\phi\times (2q+1-2k))]=(\frac{1}{2^{2q}})[\sum_{k=0}^{q}\,C_{2q+1}^k\,\cos(\phi\times (2q+1-2k))]

Sauf erreur...

Est-ce bien la formule à laquelle tu voulais arriver ?

Posté par
Stembare : polynôme de tchebychev 2 16-06-09 à 14:27

Merci pour votre aide !

(je n'utilise pas votre démonstration car ce qui m'intéresse c'est de continuer ma démonstration pour réussir à trouver la formule)

Sa ma permit de débloqué ma démonstration, il reste juste un point que je comprend pas, voilà ce que j'ai fait:


[\cos(\phi)]^{2q+1}=(\frac{1}{2^{2q+1}})[\sum_{k=0}^{2q+1}\,C_{2q+1}^k\,\times%20 e^{i\phi(2q+1-2k)})]=(\frac{1}{2^{2q+1}})[\sum_{k=0}^{2q+1}\,C_{2q+1}^k\,2\cos(\phi\times%20(2q+1-2k))+\sum_{k=0}^{2q+1}\,C_{2q+1}^{k}e^{(2q+1-2k)})]

(\frac{1}{2^{2q+1}})[\sum_{k=0}^{2q+1}\,C_{2q+1}^k\,2\cos(-\phi\times%20(2q+1-2k))]=(\frac{1}{2^{2q+1}})[2\cos(-\phi\times%20(2q+1))+2\cos(-\phi\times%20(2q-1))+...+2\cos(\phi\times%20(2q+1))]


=(\frac{1}{2^{2q}})[\cos(-\phi\times%20(2q+1))+\cos(-\phi\times%20(2q-1))+...+\cos(\phi\times%20(2q+1))]

(\frac{1}{2^{2q}})[\sum_{k=0}^{2q+1}\,C_{2q+1}^{k}e^{(2q+1-2k)})]Im() et Im()[\cos(\phi)]^{2q+1}

donc:

[\cos(\phi)]^{2q+1}=(\frac{1}{2^{2q}})[\cos(-\phi\times%20(2q+1))+\cos(-\phi\times%20(2q-1))+...+\cos(\phi\times%20(2q+1))]

le soucis c'est que mon dernier terme est \cos(\phi\times%20(2q+1))] au lieu de \cos(\phi)]

La démonstration est t'elle correcte et comment trouver \cos(\phi)] pour le dernier terme ?

Posté par
amauryxiv2re : polynôme de tchebychev 2 16-06-09 à 16:13

Et ya pas moyen de s'y prendre par récurrence sur p ????

Posté par
pythamedere : polynôme de tchebychev 2 16-06-09 à 16:16

Citation :
La démonstration est t'elle correcte et comment trouver  pour le dernier terme ?


Je ne comprends pas la première ligne !!! Qu'est-ce qui justifie le dernier signe "=" de la première ligne ?

Posté par
amauryxiv2re : polynôme de tchebychev 2 16-06-09 à 16:58

Je persiste, par récurrence ca va tout seul, en utilisant les formules trogo cos2 = 1/2(cos - 1) et la formule de 1/2.cosa.cosb.
Ensuite, c'est de la réindexation et de la combinatoire simple.

Posté par
amauryxiv2re : polynôme de tchebychev 2 16-06-09 à 17:03

cos2 ...

Posté par
amauryxiv2re : polynôme de tchebychev 2 16-06-09 à 17:05

cos2+1 .... Pffff c'est vieux tout ca !!

Posté par
Stembare : polynôme de tchebychev 2 16-06-09 à 17:06

La première ligne j'ai sauter quelque étape
déjà il manque des i et phi pour les exponentiels (dur de s'y retrouvé dans le code)
je remplace les exponentiels avec la formule : 2cos Phi=exp(i Phi)+exp(-i Phi)
donc exp(i Phi)=2cos Phi-exp(-i Phi)
sa c'est pour la première étape que j'ai pas écrit
ensuite je sépare les cos et les exp( i Phi)

pour supprimer par la suite la somme des exp(i Phi) car c'est la partie imaginaire hors dans le cosinus il n'y a que la partit réel.

Posté par
Stembare : polynôme de tchebychev 2 16-06-09 à 17:08

si je n'arrive pas avec ma démonstration je ferai par récurrence.

Posté par
Stembare : polynôme de tchebychev 2 16-06-09 à 17:16

la somme des exponentiel c'est [tex]-e^{i \phi(2q+1-2k)}[tex] et non ce que j'ai écrit pour la première ligne et la 4 iéme ligne


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