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Polynome du 2n-ième degré complexe

Posté par
drunkness 13-09-11 à 18:44

Bonjour,

J'ai eu cet exercice a faire aujourd'hui :

" On considère l'equation d'inconnue z complexe :

(E) (z^{2}+1)^{n} - (z-i)^{2n} = 0

1) Factoriser z²+1
Rép: (z-i)(z+i), facile

2) En deduire une solution de (E) => Euh ... Je ne vois pas le rapport en fait :/

3) Résoudre (z+i)^n = (z-i)^n

Je trouve \forall k \in \mathbb{N}\backslash\{0,1, n-1\}, z = -i\frac{1+e^{\frac{2ik\pi}{n}}}{1-e^{\frac{2ik\pi}{n}}} grace au théoreme des racines n-ièmes de l'unité (la flemme de détailler le calcul ^^).

4) En deduire toutes les solutions de (E)

La encore je ne vois pas le rapport ... Quelqu'un peut m'expliquer comment procéder ?? Merci d'avance

Posté par
gui_toure : Polynome du 2n-ième degré complexe 13-09-11 à 19:03

Salut

2) Que remarques-tu pour z=i ?

3) Pour z différent de i, ça revient à résoudre \displaystyle\left(\dfrac{z+i}{z-i}\right)^n=1 soit encore \displaystyle t^n=1 avec \displaystyle t=\dfrac{z+i}{z-i}, ce que tu sais faire. OK donc avec ton résultat

4) Ecris d'une autre manière l'égalité E

Posté par
drunknessre : Polynome du 2n-ième degré complexe 13-09-11 à 19:21

Citation :
2) Que remarques-tu pour z=i ?


Je vois ... que i est une solution de (E) !!
Donc ce qu'on a fait apparaitre en factorisant (i) est une solution de (E), ok pour cette question

Citation :
4) Ecris d'une autre manière l'égalité E


Ah oui j'ai compris ! du genre :

(E) ((z-i)(z+i))^n = ((z-i)^n)^2
<=> (E) (z-i)^n*(z+i)^n = ((z-i)^n)^2
<=>(E)(z+i)^n = (z-i)^n
Et du coup on a les solutions de (E) qui sont les solutions pour la 3) non ?
Donc si c'est ça j'ai résolu mon problème

Posté par
gui_toure : Polynome du 2n-ième degré complexe 13-09-11 à 19:31

Ne mets pas de symbole <===>, tu divises par (z-i)^n ce que tu n'as pas le droit pour z=i

Posté par
drunknessre : Polynome du 2n-ième degré complexe 13-09-11 à 20:05

Ah, du coup je peux mettre l'equivalence si j'annonce zi ?

Posté par
drunknessre : Polynome du 2n-ième degré complexe 13-09-11 à 21:29

Zut, je ne peux pas enlever i car il est solution de (E) ! Du coup je n'ai prouvé qu'une partie, en sens inverse ça ne marche pas ...

A moins qu'une fléche puisse suffire ...

Posté par
alexrere : Polynome du 2n-ième degré complexe 13-09-11 à 23:11

bonsoir grâce au 1) l'équation (E) se factorise par (z - i)n.

Posté par
gui_toure : Polynome du 2n-ième degré complexe 14-09-11 à 10:10

drunkness, tu as le droit de diviser par (z-i)^n, si tu dis "pour z différent de i, on peut simplifier par (z-i)^n et on obtient ..."

Posté par
drunknessre : Polynome du 2n-ième degré complexe 14-09-11 à 15:06

Oui mais dans ce cas cela contredit la 1)  :

Dans la 1) on dit z=i esgt solution .... Et dans la 4) toutes les solutions de (e) sont pour z i, z= ...

C'est contradictoire non ?

Posté par
gui_toure : Polynome du 2n-ième degré complexe 14-09-11 à 16:19

Non, on remarque que i est solution, et pour continuer on écarte le cas z=i déjà traité

Posté par
drunknessre : Polynome du 2n-ième degré complexe 14-09-11 à 16:25

Ah oui on peut l'ecarter car on l'a deja traité ... Donc l'ensemble des solutions c'est z=  -i* .... et z =i ?


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