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Polynome et algébre linéaire
Bonjour j'avais quelque problèmes avec un exercice et je souhaiterai un peu d'aide svp..
soit, pour tout i de |[0,n]|, le polynome Li=
avec les i et les k en indices !! (0
kn ET k
i)
a)Montrer que
i
[0,n] d°Li=n ET Li(xi)=1
j'avais un probleme pour le d°Li, je me suis dit quand développant le polynome cela pouvait justifier le degré.. mais ai je raison ?
b) Montrer que
j[0,n] ji Li(xj)=0
pour cette question je vois pas comment je commencerais
c) Montrer que
(b0,..,bn)
n+1 
!Ln[X] (k[0,n] L(xk)=bk).
(ON SAIT QUE la famille (L0,..,Ln) est libre et forme une base de n[X]).
Sur cette question j'y ai réfléchi, je me suis dit qu'il fallait prouver l'existance et l'unicité de L mais après j'aboutis à rien 
J'aimerai vos avis et vos aides s'il vous plais. Merci
Bonjour.
Tu remarqueras que les dénominateurs sont des constantes : xi-xk non nulles. En effet, on a dû te dire dans l'énoncé que les xi sont deux à deux distincts.
Ces constantes se multiplient entre elles au dénominateur pour former un terme : d.
Alors, tu as :
Il y a n termes, donc, deg(Li) = n
Les n racines de Li sont claires : tous les xk, k compris entre 0 et n et k i.
merci beaucoup mais au dénominateur j'ai xi-xk. je pensais quil fallait aussi le développer et ça me perturbait.
Merci beaucoup.
En ce qui concerne la suite je fais comment ?
Il importe que tu aies bien vu que :
a) Si i j,
b)
Puisque (Li) est une base de Cn[X], tu peux exprimer tout polynôme P Cn[X] sur cette base :
Pour trouver les ai , remplace X par xj
on parle de la question c ?
si oui j'aimerai savoir quel démarche je dois poursuivre, parce que j'ai pas compris ce que vous démontrez. ( mais j'ai compris ce que vous aviez marqué )
si je remplace X par les xj j'ai P(xj)=0 puisque Li(xj)=0
mais en faisant cela je montrerai que la famille est libre non ? puisque cela supposerai que les ai sont nuls. A moins que je me trompe..
je ne veux pas la réponse. En faite j'aimerai deja comprendre cette question c.
je dois prouver que k[0,n] L(xk)=bk avec (b0,,...,bn), c'est bien sa ?
vous, vous avez répondu à la question d'après qui est
(b0,..,bn) étant toujpurs donné dans n+1, quels sont les polynomes P tels que k[0,n] P(xk)=bk ???
Non. Il va rester un seul terme :
P(xj) = aj
Ceci montre que tu as les coordonnées de P sur la base (Li)
Pour tout polynôme P de Cn[X]
Donc, l'unique polynôme L tel que pour tout k P(xk) = bk est :
a ouii il reste un terme exact, j'avais trop vite complis sans avoir tout détaillé.
quand vous parlait de enfaite c'était
? parce que si c'est le cas alors tout concorde..
Tout polynôme P(X) se décompose sur la base.
Lorsque l'on se donne les coordonnées, cela définitit un seul polynôme L(X).
C'est comme si tu prenais un point quelconque du plan M(x,y).
Si tu te donnes les coordonnées x = 5 et y = 2, cela définit un et un seul point A(5,2).
a ok avec un seul polynomes on a donc les coordonnés.
en ayant P(xj)=aj on as donc tous les coordonnés.
Les coordonnées de L dans la basse B sont (a0,..,aj) ?
Ok je récapitule la question C).
On sait que si ij, Li(xj)=0
On sait que Li(xi)=1
Li étant une base de n[X], Pn[X] sur cette base s'écrit sous la forme: P(X)=
ai.Li(X) (de 0 à n).
En remplaçant X par xj, il ne reste plus qu'un terme P(xj)=xj puisque Li(xi)=0 et ij .
Donc Pn[X] P(x)=akLk=P(xk)Lk puisque P(xk)=ak
Donc l'unique polynome L tel que k P(xk)=bk est L(X)=bkLk
Donc(b0,..,bn)n+1 !Ln[X] (k[0,n] L(xk)=bx).
C'est bien cela ? mais les justification de dessus suffisent-elles ?
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