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polynome et espace vectoriel
Bonjour:
j'ai montrer que P(R) ou P represente tous les polynomes sur R est un espace vectoriel
J'ai aussi montrer que Pn(R) qui represente tous les polynomes sur R de degre plus petit ou egal a n est aussi un espace vectoriel
Mais est-ce-que le polynomes DE DEGRE n est-il un espace vectoriel?
merci
Bonjour.
Prenons : P(X) = aX + b et Q(X) = -aX + b'
La somme P(X) + Q(X) n'est pas de degré 1.
Le seul qui convienne est l'ensemble des polynômes de degré 0 et du polynôme nul.
Cela n'empêche pas. Mais rassure toi, cette précision est rarement utilisée.
Pour l'éviter, certains auteurs attribuent au polnôme nul le degré : moins l'infini.
une question:
je ne trouve pas de difference en montrant que P(R)que Pn(R) sont des espaces vectoriels
peut-etre que le dernier terme dans P(R) je peux le nommer amxm et dans Pn(R) je le nomme anxn
je doit trouver de difference?
ah oui j'ai compri
c'est pour demontrer que le polynome nul appartient a P(R)(condition necessaire pour montrer que P(R) est un sous espace de F(R,R))
raymond et dryss, si je suis ce que vous avez dit, alors tous les polynomes seront des non espaces vectoriels,
Mettons les choses au point.
1°) Lorsque tu dis que l'ensemble de tous les polynômes à coefficients réels est un IR-espace vectoriel, tu as raison.
2°) Lorsque tu dis que l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n est un IR-espace vectoriel, tu commets une légère erreur dans le sens où, comme le polynôme nul n'a pas de degré, il n'est pas, en toute logique, compris dans cet ensemble. Or, sa présence est indispensable. En effet, le polynôme nul est l'élément neutre de la structure de groupe additif sous-jacente.
ok donc j'ai besoin de l'element nul pour prouver que l'ensemble des polynomes de degre inferieur ou egal a n est un sous espace.
Mais je ne comprend pas toujours comment vous avez prouvez que l'ensemble des polynomes de degre n n'est pas un espace vectoriel
P(X) = 5X² + 3X + 1 et Q(X) = - 5X² + X + 4 sont deux polynômes du second degré.
Leur somme P(X) + Q(X) = 4X + 5 n'est pas du second degré.
La stabilité pour la somme n'est pas respectée : ce n'est pas un IR-espace vectoriel.
bon mais ce que tu a pri c'est un polynome de degre plus petit ou egale a n avec n=2, et non pas un polynome du second degre non?ce qui contredit ce que j'ai prouver avant:S
Bon, maintenant tu vas te prendre en main et réfléchir un peu.
Il y a une différence fondamentale entre :
"être du second degré"
et
"être de degré inférieur ou égal à deux"
Arrives-tu à comprendre cela ?
Ils sont tous les deux du second degré !
5X²+4X-3 , 7X+1 , 3X, 8 , sont quatre polynômes de degré inférieur ou égal à deux.
..... Et bien, je ne crois pas que tu connais la définition de degré. Donne la moi sans regarder ton cours et tu verras...
Franchement avant de vouloir faire des exos, apprends les BASES.
PS pour Raymond : il est plutot classique de dire que deg(0) = -oo, non? Parce que ca arrange quand même beaucoup les calculs et les formules du genre deg(PQ)=deg(P)deg(Q).
Bon je commence a comprendre un peu
mais comment je peut generaliser?
par exemple, polynome de degre< ou egale a n:
P(X)=a0+a1X+a2X^2+...+anX^n
mais ppour degre n?
on n'a pas pri le cours sur les degre:
il ya juste une petite intro qui di que Pn(R) represente les polyomes de degre< ou egale a n
et que il faut montrer si les polynomes de degre n forment un espace vectoriel.
P(X)=AXn
Q(X)=BXn
(P+Q)(X)=P(X)+Q(X)=(A+B)Xn qui est de degre n
P(X)=(A)Xn qui est de degre n
donc c'est une espace vectoriel!!
donc je doit prendre le cas ou B n'est pas egale a -A?
je suis completement perdu vous me perdez de plus en plus:
pouvez vous me dire c'est quoi la difference entre P(R), Pn(R)?et le polynome de degre n?
en detail s'il vous plait
Petit exercice pour toi : donne moi le degré de ces polynomes :
X²+X+1
X²-1
0X²+3X-0+9
48X^3+17X²+3X^5
Maintenant donne les moi en fonction du paramètre a et b :
aX²+ bX+3
aX^5+X+b
X^7 + bX^6+aX^5+4
Une fois que tu auras répondu à ces questions, on pourra discuter.
Bon donc Pn(R) est l'ensemble des polynomes de degré INFERIEUR à n. (avec 0)
P(R) est l'ensemble des polynomes.
Ce sont des espaces vectoriels
Et l'ensemble qui n'a pas de nom dont tu nous parlais : l'ensemble des polynomes de degré EXACTEMENT n n'est pas un espace vectoriel.
Sinon pour les degrés des 3 derniers, tu as du faire une erreur de frappe, ce n'est pas a.
J'ai l'impression que tu penses qu'un polynôme de degré 3 est forcément du type 5X3.
Le polynôme 5X3 - 8X + 7 est aussi du troisième degré.
Quand tu parles de degré inférieur ou égal à 5 par exemple, tu inclus les polynômes de degré 5, 4, 3, ...
est l'ensemble de tous les polynômes.
Tu y trouveras des polynômes de tous degrés, 5X² , 4X-8 , 7X3-8X²+5X+1,
le polynôme nul : O,
les polynômes de degré 0 : 6 , -19 , ...
est l'ensemble de tous les polynômes de degré inférieur ou égal à n et du polynôme nul.
Tu y trouveras des polynômes de degré n : 7Xn - 4Xn-1 + 8Xn-2 + ... + 7X - 3, mais aussi
le polynôme nul : O,
les polynômes de degré 0 : 8 , -12 , 1 , ...
les polynômes de degrés 1, 2, 3, ... , n-1
L'ensemble des polynômes de degré n n'a pas de notation connue parce que justement il ne forme pas un espace vectoriel.
Dans cet ensemble, tu ne trouveras que des polynômes du type :
annXn + an-1Xn-1 + ... + a1X + a0
avec OBLIGATOIREMENT an 
0.
Donc, si tu ajoutes deux polynômes de ce type avec des an opposés, tu perdras le terme en Xn et tu sortiras de l'ensemble. Or, pour être un espace vectoriel, il faut au moins être stable par addition.
Je ne vois pas ce que tu ne comprends pas.
L'ensemble des polynomes de degré exactement égal à n (n>1) n'est pas un sev : ce n'est pas un groupe car il n'est pas stable par +. La preuve :
X^n est de degré n. -X^n est de degré n
Or le polynome somme des 2 n'est pas de degré n donc n'appartient pas à l'ensemble des polynomes de degré exactement n.
Donc cet ensemble n'est pas stable par + : il ne verifie pas un axiome -> ce n'est pas un espace vectoriel.
Les réponses pour :
aX²+ bX+3 : si a=0 et b=0 alors deg=0. Si a=0 et b different de 0 alors deg=1 si a different de 0 deg=2
aX^5+X+b Si a = 0 alors deg=1 . sinon deg=5
X^7 + bX^6+aX^5+4 . deg=7
bon bon bon j'ai compri et je vous remerci
donc an doit etre different de 0 pour avoir un polynome de degree n(je viend de le remarquer dans mes notes) mais bon une chose encore:
le polynome de degre < ou egale a n est de la forme:
P(X)=a0+a1X+a2X2+...+anXn
si on prend Q(X) avec des ai opposes, on aura un polynomes de degres 0 et donc pas d'espace vectoriel, ce qui contredit ce qu'un a prouver non?
oubliez mon dernier message
J'ai enfin tout compri
donc pour ce que j'ai di, on s'enfou puisuqe le degre reste toujours<N
alors que pour le polynomes de degre n, ou les ai sont obligtoriement tous different de 0(sinon on aurait pas de degre n), il faut trouver un polynomes opposes telles que quand on les ajoute, on a un polynome de degre 0, et donc ce n'est pas un espace vectoriel
c'este juste?
quand on veux montrer que P(R) est un sous espace de F(R,R) on montre trois choses:
la premiere c'est que 0 appartient a P(R)(ici c'est le polynome 0)
alors que pour le polynome de degre n, ya peut pas aussi avoir de polynome 0 n'est-ce-pas?puisque les an sont tous non nuls
un sous-espace vectoriel de E si et seulement s'il n'est pas vide et est stable par combinaisons linéaires.
mais pour Pn(R), si je prend le polynome nul qui n'a pas de degre et donc n'appartient pas a Pn(R)
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