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Polynome et Extension algébrique de Q

Posté par
robby3 29-02-08 à 16:42

Bonjour,encore un autre(quand on aime on compte pas )

Soit K une extension algébrique de Q,a\in K^*,n\in N^*,\alpha\in \bar{Q} une racine de X^n-a.

1)On suppose que dans cette question X^n-a est non irréductible sur K
Soit f(X) un diviseur de X^n-a dans K[X],de degré d tel que 1\le d\le n-1 et soit \epsilon_n \in \bar{Q} une racine n-ieme primitive de l'unité.
a)Montrer que le terme constant de f(X) est de la forme \epsilon_n^c.\alpha^d ou c\in N
b)Soit s=pgcd(d,n)
Démontrer qu'il existe une racine n-ieme de l'unité \nu \in \bar{Q} tel que: \nu.\alpha^s \in K

2)Soit p un nombre premier et X^{p}-a \in K[X],a\neq 0
Montrer que si a n'a pas de racine p-ieme dans K,alors X^p-a est irréductible sur K.

pouvez-vous m'aider à demarrer  s'il vous plait?

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 16:48

pour la 1) on me dit de m'inspirer de corps de caractéristique 0
mais je vois pas du tout!

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 17:27

on sait que f(X) s'annule en \alpha et est de degré d,1\le d\le n-1.
on sait que \alpha est une racine de X^n-a donc \alpha^n=a.
je vois pas trop quoi faire!

Posté par
Cauchyre : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 18:01

Re,

déja pour pas s'embrouiller c'est pas très malin de prendre a et 3$\alpha

f(X) ne s'annule pas forcément en 3$\alpha c'est un diviseur strict de X^n-a qui s'annule en 3$\alpha.

Pense aux relations coefficients racines, que vaut le terme constant exprimé en fonction des racines de f qui sont des racines de X^n-a.

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 19:28

Citation :
Pense aux relations coefficients racines, que vaut le terme constant exprimé en fonction des racines de f qui sont des racines de X^n-a.

>les relations coefficients racines???

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 19:31

ben tu dois au moins en connaître deux : dans un polynôme caractéristique le déterminant c'est ??  et la trace de la matrice c'est ??  (ce qui suffit amplement pour cet exo)

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 19:37

Citation :
dans un polynôme caractéristique le déterminant c'est ??  et la trace de la matrice c'est ??  (

??
A  quelle matrice fais tu référence?
le déterminant d'un polynome?

pour un polynoem de degré 2 par exemple
P(x)=ax^2+bx+c
\rm x_1 et x_2 ses racines alors on a:
x_1+x_2=-\frac{b}{a} et x_1x_2=\frac{c}{a}

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 19:43

Pour une matrice quelconque le polynôme caractéristique Det(A-XI)  est un polynôme qui en 0 vaut  Det(A) = produit de valeurs propres = produit des racines. (quitte à multiplier par +ou-1)
Ca tu le sais donc tu en sais suffisamment sur les relations entre coeff et racines pour faire l'exo.
((je sais que ça n'a rien à voir avec les matrices c'est juste pour prouver que tu connasi ce résultat))

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 19:43

Donc de maniere générale si j'appelle les x_1,..,x_n les racines d'un polynome de degré n on a:

\Bigsum_{k=1}^n x_k=-\frac{a_{n-1}}{a_n}
et \prod_{k=1}^n x_k=(-1)^n.\frac{a_0}{a_n}

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 19:44

en espérant que ça ne t'as pas embrouillé

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 19:44

oui c'est ça !

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 19:48

et ça suffit pour me débrouiller ça??

Donc si \alpha est une racine de X^n-a j'arrive pas à m'en sortir avec les trucs de dessus?

je suis obligé d'en considéré plusieurs des racines non?

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 19:51

oui si    est une racine et    une autre que pense tu de leur quotient ?

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 19:53

j'ai l'impression que le a) n'est pas vrai ? il maqnue un + ou - devant le epsilon

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 19:55

Citation :
de leur quotient

> j'ai une relation avec un produit et une somme,tu me demandes le quotient

si \alpha et \beta sont deux racines de X^n-a,j'ai:

\alpha+\beta=0
et \alpha.\beta=-1
donc \beta=+-1

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 19:56

je vien de vérifier et non c'est bien \epsilon_n^c.\alpha^d

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 20:11

si n =a  et que n=a
alors  ((/)n =1 non ?

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 20:12

tu en déduis toutes les racine de ton polynôme et c'est ENSUITE que tu regardes le terme constant de f .

ps : Si  n = 1 pour moi y a un -a .

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 20:18

je suis d'accord pour ton quotient...mais pourquoi fais-tu celà?
J'en déduis tout les racines en multipliant une racine par les racines nieme primitive de l'unité dans K. ?

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 20:24

oui dans la cloture de K. Donc le terme constant de  f  est le produit de ?

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 20:30

mais j'ai pas compris pourquoi t'as fait le quotient des deux racines ?
si on prend \alpha une racine quelconque,on les a tout en multipliant par \omega^k,0\le k\le n-1

donc le terme constant c'est -\prod_{k=0}^{n-1} \omega^k.\alpha non?

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 20:45

oui (ben si ca te semble évident sans faire le quotient y a pas besoin) .
Oui pour le terme constant or les racines n ième sonyt toutes des puissances de la primitive (sauf qu'il y a  plusieurs -1 .) et seulement d = degr(f)

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 29-02-08 à 20:51

Citation :
les racines n ième sonyt toutes des puissances de la primitive

>j'arrive pas à traduire ça correctement
tu veux dire que \epsilon_i=\omega^m??

Citation :
(sauf qu'il y a  plusieurs -1 .) et seulement d = degr(f)

>j'ai pas du tout saisi ce que tu voulais dire!

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 01-03-08 à 10:34

Bon je résume le 1) de cet exo et sa solution (d'ailleurs l'énoncé est doublement foireux pour 2 détails ) :

Les racines  de  Xn-a  sont de la forme    où    est une racine fixée du polynôme et    une racine  n ième de l'unité. Or il est bien connu que les racines  n ième forment un groupe cyclique engendré par notons  la ainsi :  n .
Donc la liste complétes des racines de Xn-a  est foruni par
nj  où  j  est un entier entre 0  et  n-1 .
Ceci étant soit  f(X)  un facteur UNITAIRE (oubli de l'énoncé ?) de degré  d, ses racines sont parmi les racines précédentes donc leur produit multiplié par un (-1)d  est dnj1+..+jd = dnu

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 01-03-08 à 11:58

ok!
Merci de cette clarification.

pour le 2) si a n'a pas de racine p-ieme dans K alors X^p-a=0 n'a pas de solution donc X^p-a est irréductible sur K.

pour 1)b) je vois pas explicitement le rapport avec 1)a)...

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 01-03-08 à 13:35

pour le 2) ne pas avoir de racine n'est pas un argument suffisant (sauf sip=2 ou 3 ) il faut utiliser le résultat du 1 b)

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 01-03-08 à 13:37

le  1 b) :   Bezout dit qu'il existe des relatifs u  et  v tels que :
  u d + v n = s  , donc  s = ??  et tu utilises le 1 a)

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 01-03-08 à 13:59

euhh j'ai \alpha^s=\alpha^{ud+nv}=\alpha^{ud}.\alpha^{nv}=(\alpha^d)^u.a^v
car \alpha^n=a
ensuite je dois traduire \alpha^d peut-etre non?

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 01-03-08 à 14:28

grâce au résultat du  1 a) et du fait que  f(X)  a ses coefficients dans K .

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 01-03-08 à 14:30

peut-on dire que f(X)=X^d-\epsilon_n^c.\alpha^d ?

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 01-03-08 à 20:06

Non mais on en a pas besoin on sait juste que son terme constant est dans K (comme tous ses coefficients d'ailleurs)

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 18:06

je fais remonter ce topic, je bloque à la question 2) malgré l'indication de lolo

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 18:11

je récapitule:

je souhaite montrer que:

Citation :
5$ p étant premier,5$ \mathbb{K} un corps,5$ a\in \mathbb{K} montrer que 5$ X^p-a est irréductible sur 5$ \mathbb{K} ssi il n'a pas de racines dans 5$ \mathbb{K}


toute idée est la bienvenue!

Posté par
Rodrigore : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 21:07

Si tu te place dans le corps de décomposition de X^p-a, qui est K[\zeta^i b] ou b est une racine de ton polynome dans une cloture séparable et zeta une racine primitve p-ième de l'unité, alors galois agit par le carractère cyclotomique et donc agit transitivement, et donc ton polynome est irreductible.

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 21:09

Bonsoir Rodrigo

1)c'est quoi une cloture séparable?
2)que veut dire "Galois agit par le caractére cyclotomique donc transitivement"

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 21:11

je sais ce qu'est une cloture algébrique,c'est le mot séprable que je ne saisi pas

et j'ignore la théorie de Galois, je connais simplement ce qui permet d'y accéder...sans en parler

Posté par
Rodrigore : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 21:11

Bonsoir Robby,
Ici cloture spérable=cloture algébrique.

Galois agit par le carractère cylco veut dire \sigma(\zeta)=\zeta^{\khi(\sigma)}, il est facile de voir que cet action est transitive.

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 21:17

Citation :
Ici cloture spérable=cloture algébrique.

>OK!

\zeta= racine primitive p-ieme de l'unité

\sigma=?
\chi=?

désolé, je comprend pas trop trop le coup du caractére cyclotomique!

Posté par
Rodrigore : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 21:21

Ben sigma c'est ton élément de galois et chi le caractère cylcotomique qui donne un siomorphisme entre Z/p et Gal(Q(zeta)/Q)

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 21:26

sigma c'est ton élément de galois
>je ne sais pas ce qu'est un élément de Galois.

n'y a t-il pas d'autre moyen de faire ça sans Galois? parce que si je dois apprendre Galois pour faire ça...ça va prendre un certain temps!

Posté par
Rodrigore : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 21:34

Ah tu ne connais pas la theorie de Galois??

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 21:37

non ,c'est ce que j'ai préciser à 21:11

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 22:27

De plus, je ne comprend en quoi l'action de l'élément de Galois entraine l'irréductibilité du polynome!

Posté par
lolo217re : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 22:45

Bonsoir,

Alors je réponds au message de 18h11 .

Le plus propre est de distinguer deux cas :

1er cas  la caractéristique de K  est p , dans ce cas si  x  est une racine de
Xp-a  alors ce polynôme vaut (X-x)p.

S'il était réductible il s'écrirait  (X-x)u(X-x)v  
dans K[X] , mais le deuxième terme est alors  ux Xu-1  qui est rarement dans K si  x n'y est pas !

2ième cas  la caractéristique n'est pas p , alors tu trouves toutes les racines et tu bidouilles avec le terme constant...

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 22:56

Bonsoir lolo!

Citation :
mais le deuxième terme est alors  ux Xu-1

pourquoi cela?

tout les racines vont etre de la forme x.wi ou x est une racine du polynome et w une racine primitive p-ieme de l'unité non?

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 17-02-09 à 23:09

Bon, bah je verrais la suite demain avec mon prof!
Merci à tout les deux pour votre aide!

Posté par
robby3re : Polynome et Extension algébrique de Q 18-02-09 à 13:29

Voilà comment on a réglé le truc:

On suppose que 5$ \mathbb{K}\subset\mathbb{C}

on a donc 5$ P(X)=X^p-a\in \mathbb{K}[X]\subset \mathbb{C}[X},
il existe donc 5$ \alpha_1,..,\alpha_p dans 5$ \mathbb{C} tel que 5$ P(X)=\Bigprod_{i=1}^p(X-\alpha_i)

Supposons alors que 5$ P(X) soit réductible dans 5$ \mathbb{K}[X]

5$ \exists P_1(X),P_2(X) \in \mathbb{K}[X], 5$ deg(P_1)<p et 5$ deg(P_2)<p tel que 5$ P(X)=P_1(X).P_2(X)


5$ \fbox{*}Montrons alors que 5$ \fbox{a^{deg(P_1)}=(\epsilon.P_1(0))^p} ou 5$ \rm \epsilon=+ ou -1

Soit 5$ n_1=deg(P_1)
Comme 5$ \fbox{P_1(X)P_2(X)=\Bigprod_{i=1}^p(X-\alpha_i),\alpha_i\in \mathbb{C}}
5$ \exists I\subset \{1,..,p\} telle que 5$ \rm |I|=n_1 et P_1(X)=\Bigprod_{i\in I} (X-\alpha_i)

en particulier: 5$ P_1(0)=\epsilon \Bigprod_{\in I}\alpha_i

et 5$ \rm P_1(0)^p=\epsilon\Bigprod_{\in I} \alpha_i^p=\epsilon \Bigprod_{i\in I}a=\epsilon a^{n_1}

On veut alors montrer que 5$ P(X) admet une racine dans 5$ \mathbb{K} sous l'hypothese que 5$ P(X) soit irréductible dans 5$ \mathbb{K}[X]

Pour cei, il faut montrer 5$ \rm \exists \beta\in \mathbb{K} tq \beta^p=a

On sait déjà que 5$ \rm \exists \gamma\in \mathbb{K} tq \gamma^p=a^{n_1} ou 0<n_1<p \\
on a donc 5$ pgcd(p,n_1)=1 et on a donc Bézout:

5$ \rm \exists u,v\in \mathbb{Z} tq pu+vn_1=1
d'ou 5$ a=a^{pu+n_1v}=(a^u\gamma^v)^p d'ou la conclusion.

et dans le cas général, si 5$ \mathbb{K} est un corps qcq, il existe un corps 5$ \mathbb{\Omega} (corps de décomposition de P) contenant 5$ \rm \mathbb{K} tq P(X)=X^p-a soit scindé dans 5$ \mathbb{\Omega} et on refait le meme raisonnement!


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