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polynome et matrice diagonalisable
Soit n un entier au moins égal à 2; pour i entier variant de 0 à n, n considère le polynôme :
Pi(X) = (1-X)i*(1+X)n-i
Si aij est le coefficient de Xi-1 dans Pj-1, soit A =(aij) 
Mn+1(R) (ensemble des matrices à n+1 lignes et n+1 colonnes à coefficient réels)
On note E = Rn[X] et B = (1,X,X2,...,Xn) la base canonique de E.
Lorsque n = 2 je dois déterminer A et je dois étudier si A est diagonalisable.
Je ne comprends pas car si n = 2 alors a00 est le coefficient de X-1 dans P-1
Non?
Mais P-1(X) n'existe pas si ???
Merci de m'aider à comprendre!!
si n= 2
il y a 3 valeurs possibles pour i: i=0; i=1 et i=2
A=
1 2 1
1 0 -1
1 -2 1
c'est que l'on numérote les coefficients d'une matrice en commençant à 1...
Ha daccord moi je pensai qu'on commencait a a00!!
Ok merci beaucoup
L'exercice n'est pas complet là j'aurais sans doute besoin d'aide ultérieurement 
Merci!!
Cordialement
Est-ce que le polynome carcatéristique est -X3 + 2X2 + 4X - 8 ??
Je trouve que 2 est racine évidente donc je peux faire la division euclidienne pour le factoriser ?
Car je ne vois pas comment je peux trouver les valeurs propres sinon... 
Du coup je trouve que 2 est racine double et -2 racine simple .
Ensuite quand je calcul ker(A-2I), je trouve un système de 3 équations à 3 inconnues.
Mais 2 équations sont identiques donc j'obtiens ce système :
-x + 2y + z = 0
x - 2y - z = 0
Que puis-je dire ensuite ?
Je n'arrive pas pas a toruver la dimension des sous espaces propres associés à la valeur 2 et -2!
Pour la valeur 2, je trouve que z = x-2y, que puis-je dire? que c'est un plan donc de dimension ??
Pour la valeur -2 je trouve que x = -y, et z = y, quel est la dimension ??
SVP aidez-moi!!
Cordialement
Est-ce que le polynome carcatéristique est -X3 + 2X2 + 4X - 8 ??
Je trouve que 2 est racine évidente donc je peux faire la division euclidienne pour le factoriser ?
Car je ne vois pas comment je peux trouver les valeurs propres sinon...
Je trouve ça aussi; les racines: -2;2;2
pour m = 2
Je calcule A.(x;y;z) = 2(x;y;z)=(x+2y+z,x-y,x-2y+z)
on trouve: x=z+2y, c'est l'équation d'un plan vectoriel.
pour trouver 2 vecteurs propres:
premier vecteur: z=0 et y=1 x= 0+2*1=2
deuxième vecteur: z=1; y=0 x=z+2y=1
pour m = -2
on trouve x=y et y=-z
vecteur propre: x=1; y=1 et z=-1
Ok je trouve la même chose!
Mais que peut-on dire alors que La matrice est diagonalisable ?
Si oui est-ce que A = (2 0 0
0 2 0
0 0 -2) ??
J'ai posé aussi dans un topic intitulé "base" le m enoncé à part que là il faut montrer que (P0,P1,...,Pn) est une base de Rn[X] et là je suis complètement coincé!!
Encore merci de prendre de votre temps c'est vraiment gentil et cela m'aide enormément!!
il faut changer de repère, il y a des formules pour cela......
ou alors on regarde (en calculant) l'image de chacun des 3 vecteurs trouvés....
et on trouve
A' = (2 0 0)
(0 2 0)
(0 0 -2)
ce n'est pas la m^me matrice....
L'image ?? oups j'ai boulié
Soit u1 = (2,1,0) , u2=(1,0,1) , u3=(1,1,-1)
Parce qu'exemple je dois calculer A *u1 ? je ne comprends pas je vais trouver 2*u1, non?
Aie je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas la même matrice, je pensais qu'en la diagonalisant cela ne changerai rien :S
L'image ?? oups j'ai boulié
Soit u1 = (2,1,0) , u2=(1,0,1) , u3=(1,1,-1)
Parce qu'exemple je dois calculer A *u1 ? je ne comprends pas je vais trouver 2*u1, non?
oui.....
Aie je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas la même matrice, je pensais qu'en la diagonalisant cela ne changerai rien :S
une matrice 3x3 est un ensemble de 9 nombres...
si on change les nombres, on change la matrice....
mais l'application qui à un vecteur, associe un vecteur, elle, ne change pas.....
(un peu comme si on mesure la longueur d'un champ en metres ou en yards....
la longueur ne change pas, mais le nombre change
Oui daccord! J'ai compris.
Je peux donc dire qu'elle est diagonalisable?! je ne dois pas parler de la dimension de ces espaces propres si?
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