Bonjour,

Tu as un test facile : si a est une racine de multiplicité k d'un polynôme A(x), alors A(x) et ses dérivées jusqu'à l'ordre k-1 s'annulent en a, mais pas la dérivée d'ordre k.
C'est facile à démontrer en écrivant A(x) sous la forme (x-a)^kB(x), B(k) 0 et en dérivant A(x) k fois.  

L'autre méthode, et probablement la bonne ici, est de factoriser A sous la forme (X² + X + 1)B(X), où B(X) est un polynôme d'ordre 3 que tu détermines par identification.
Si ton prof a raison alors B(X) sera de la forme K(X-2)³

Tu as deux possibilités à première vue :

- Soit tu factorises ton polynôme, déjà par X²+X+1 :



2 n'est pas racine de , donc on regarde si 2 est racine de .
Effectivement, moyennant quelques transformations, on constate qu'on peut facilement factoriser B :



Donc finalement,
    si a = 1/2, la multiplicité de 2 dans A est 3
    si a 1/2, la multiplicité de 2 dans A est 2.

- Soit tu calcules les dérivées successives de A appliquées en 2 :



On retrouve (heureusement !) exactement les mêmes conclusions.

Merci je comprend beaucoup mieux !

Si je dois faire la décomposition en polynome irréductibles de A dans R[X],
j'obtiens :

(X²+X+1)(X-2)²(aX-1) ?
C'est ça? ou est-ce que c'est encore réductible (je ne crois pas mais bon...)


Encore merci d'avance pour votre aide.

Tu as une décomposition de ce polynôme sous forme d'un produit de polynômes de degré 1, ou de degré 2 mais sans racine réelle, donc oui, tu as bien une décomposition en polynômes irréductibles dans .

Merci!