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Polynôme irréductible
Bonjour !
Pouvez m'expliquer s'il vous plait comment montrer que les polynômes suivant sont irrductibles ou pas.
1) P(X)=4X7+6X5+12X4+18X -6
J'utilise le critère d'Eisenstein pour dire que p=3 et donc le polynôme est irréductible dans 
[X].
P(X) = 2(2X7+3X5+6X4+9X-3)
2 n'est pas inversible dans 
et 2X7+3X5+6X4+9X-3 n'est pas inversible dans [X], donc P est irréductible dans [X].
Est-ce que le raisonnement est correct ?
2)Q(X,Y)=X²+Y²
Q(X,Y)=(X-iY)(X+iY)
X+iY et X-iY ne sont pas inversibles dans 
[X,Y]. Donc Q n'est pas irréductible dans [X,Y]
Par contre Q est irréductible dans 
[X,Y], mais pourquoi ?
3)R[X,Y]=X5+YX²+Y²+Y
Est-il irréductible dans [X,Y].
Je ne vois pas quoi utiliser pour répondre car :
- si on utilise le fait que est un corps, comment faire pour montrer si R admet des racines ou pas ?
- je ne vois pas avec quel p utiliser le critère d'Eisenstein
- je ne vois pas pourquoi utiliser le critère de réduction.
Pour information ce que j'appelle critère de réduction c'est :
Soit A un anneau factoriel et I un idéal premier de A.
Soit P
A[X] de degré 
1 et P l'image de P par la surjection canonique : A[X]
(A/I)[X]
Si deg P =deg Pet Pest irréductible dans (Fr(A))[X], alors P est irréductible dans Fr(A)[X]. Si de plus P est primitif, il est irréductible dans A[X].
Le critère de'Eisenstein est :
Soit A un anneau factoriel et P =anXn+...+a0 un polynôme à coefficients dans A de degré1.
Soit p un élément irréductible de A vérifiant :
(i) P divise anpour tout 0
in-1
(ii) p ne divise pas an
(iii) p² ne divise pas a0
Alors, P est irréductible dans (Fr(A))[X] et s'il est primitif, il est irréductible dans A[X].
Merci beaucoup pour votre aide !
Elotwist
Bonjour
1) Tu conclus à l'envers! le polynôme P n'est pas primitif (tu as bien mis 2 en facteur). le critère d'Eisenstein montre qu'il est irréductible sur Q[X] et il est réductible sur Z[X) puisque tu l'as écrit comme produit de deux éléments non inversibles!
2) Sur n'importe quel anneau, un polynôme unitaire du second degré (ou du troisième) est réductible si et seulement s'il admet une racine. Comme ce n'est pas le cas de dans R[X] il est bien irréductible dans R[X,Y].
3) Tu peux appliquer Eisenstein avec p=Y qui est bien un élément irréductible de C[Y]. (Dans ce cas tu regardes ton polynôme comme élément de (C[Y])[X].
Tu peux aussi regarder ton polynôme comme polynôme de degré 2 de (C[X])[Y] et voir qu'il n'a pas de racine (décomposition canonique).
1) d'accord.
2) pourquoi Q n'admettrait pas de racines dans ?
3)Avec p=Y , le critère d'eisenstein entraine que Rest irréductibre sur le corps des fractions de [X,Y].
Est ce que [X,Y] est un corps de fraction ?
2) On regarde Q comme polynôme de (R[X])[Y]. Une racine en Y serait un polynôme P(X) tel que X^2+P^2(X)=0, ou encore ce qui est impossible si les coefficients sont réels! essaye d'écrire P(X)!
3) C[X,Y] n'est pas un corps de fractions, mais ton polynôme étant unitaire est primitif!
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