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polynôme minimal
Bonsoir,
voilà je bloque sur cette exercice, je sait comment déterminer un polynôme minimal dans une matrice grâce à la diagonalisation mais pas pour un polynôme.
Soit E un R-espace vectoriel de dimension n > 0, et u un endomorphisme de E non diagonalisable.
On suppose que le polynôme P(X) = X3 −8X2 +21X −18 est un polynôme annulateur
de u.
(1) (a) Décomposer P en produit de facteurs irréductibles dans R[X] (on cherchera une
racine évidente de P).
(b) Déterminer, si possible, le polynôme minimal de u, noté Pm,u (On donnera différentes
possibilités si tel est le cas).
(c) Si dim E = 2, montrer qu'il n'y a plus qu'une seule possibilité pour Pm,u, et la
préciser.
(d) En déduire le polynôme caractéristique de u.
(2) (Bonus) Déterminer les matrices A de M2(R) telles que A3 − 8A2 + 21A − 18 = (0).
(1) (a)
P(X)=(X-2)(X-3)²
(b)
la j'ai (x-2),(x-3),(x-2)(x-3),(x-2)(x-3) et (x-2)(x-3)² qui sont des polynômes annulateur de P.
donc je doit trouver le polynôme annulateur qui divise tous les autres c'est sa?
je voie mal comment (x-2) peut diviser (x-3) vice versa, un qui les divises tous c'est impossible !
je comprend pas ce qu'ils veulent dire
merci d'avance pour votre aide.
oups erreur le polynôme minimale possède toute les valeurs propres donc c'est soit (x-2)(x-3) ou (x-2)(x-3)² on sait que u un endomorphisme de E non diagonalisable donc pm,u=(x-2)(x-3)²
(c) vu que le polynôme minimale est inférieur ou égale à la dimension de E, pm,u=(x-2)(x-3) et la c'est absurde car on sait que u un endomorphisme de E non diagonalisable !
Les racines du polynôme minimal forment l'ensemble des valeurs propres.
En dimension finie, le polynôme minimal existe toujours et il est de degré inférieur ou égal à la dimension de l'espace.
y'a un soucis dans l'énoncé la non?
et comment en déduire le polynôme caractéristique, je sait juste que le polynôme minimale divise le polynôme caractéristique.
Bonjour,
Alors b) tu sais seulement que P est annulateur , or le polynôme minimal est diviseur de tout polynôme annulateur MAIS TU NE PEUX PAS AFFIRMER qu'il a les mêmes racines !
Donc tu as effectivement les possibilités (X-2); (X-3); (X-3)2,(X-2)(X-3) et P(X)
ah OK j'avais pas vu NON DIAGONALISABLE donc tu sais que le polynôme minimal a des racines MULTIPLES (au moins une).
Donc parmi les précédents il reste P(X) ou (X-3)2 .
c) en dimension 2 la seule possibilité est donc (X-3)2
le polynome minimal est un diviseur de P(X)=(X-2)(X-3)²
et qui n'est pas à racine simple puisque u n'est pas diagonalisable
en dim 2 ce ne peut etre que le facteur double de P 
X-3)² car en plus il doit etre de degré inférieur ou égal à 2
comme il est de degré la dim de l'espace c'est aussi le poly caractéristique car ds ds les cas le poly caractéristique est multiple du poly mini
bonjour,
les valeurs propres de u sont racines de P spectre(u)
{2,3} mais la réciproque est fausse une racine de P n'est pas nécessairement valeur propre de u
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