C'est affolant ce que ça descend vite...

Réponse dans wikipedia
Actions on projective spaces

acts via linear fractional transformation on the projective line P1(7) over the field with 7 elements:

chaque g étant inversible c'est une permutation de
Pour "voir" l'action, peut être utiliser la vision géométrique :
Every orientation-preserving automorphism of P1(7) arises in this way, and so G = PSL(2,7) can be thought of geometrically as a group of symmetries of the projective line P1(7).

je ne sais pas si cela t'aide beaucoup ??

Pas vraiment... je veux dire, je vois toujours pas comment je vais trouver mon polynôme...

Bonjour,
Oui PSL agit par homographie...mais je ne sais pas trop non plus si ca peut s'averer utile, parce que c'est tres general et pas trop en rapport...

Cela dit...est ce que tu veux un polynome explicite, ou juste une façon d'ne construire un parce que rien n'empeche de prendre un polynome tres simple sions X_1 et de le saturer par l'action de G=PSL(2,F_7) en regardans le polynome summe de g.X_1 ou g parcourt tous les elements de G. Bon son stabilisateur contient clairement G, maintenant faut montrer qu'il est pas trop gros, par exemple en montrant que G opère simplement sur g.X_1...et ça c'est pas vrai...
Mais c'est pas grave!! () ca nous dit qu'il fait chercher un polynome un peu moins simple qui ne soit pas stabilisé par aucun elemnt de G...bon je sais pas si ca va etre plus simple...

J'en voudrais en expliciter un, c'est pour faire des calculs pas très beau sur Maple (va falloir qu'il factorise un polynôme de degré 30 sur Q ).
J'y pensais dans le métro... X1+X2+X3 ça convient il me semble non? (en n'oubliant pas que PSL(2,7) c'est aussi PSL(3,2))...

Heu ouais...je sais pas trop...deja faut voir précisément comment tu fais agir PSL(2,F_7) ou PGL(3,F_2), je pense pas qu'il y ait plusieurs façon de l'injecter dans S_7, et dans S_3, c'est sans espoir et ca me fait un peu peur pour ton X_1+X_2+X_3... ensuite va quand même falloir se taper l'action de 167 elements sur ton polynome...ca fait beaucoup de calculs

Ben je te donne mon vrai problème alors, tu vas peut être trouver un autre moyen de se sortir d'affaire.£

On désire calculer de manière purement algorithmique (et déterministe) le groupe de Galois de t^7-7t+3.
Déjà il est irréductible d'après Maple.
On suppose ensuite connu la liste des sous-groupes transitifs de S_7 qui sont:
- Z/7Z
- D7:= Z/7Z semi direct Z/2Z (le groupe diédral de l'heptagone)
- F21:= Z/7Z semi direct Z/3Z (le métacyclique d'ordre 21)
- F42:= Z/7Z semi direct Z/6Z (le métacylclique d'ordre 42)
- PSL(2,7) (le groupe simple d'ordre 168)
- A7 (on fait plus les présentations, faut arrêter)
- S7 (c'est bien parce qu'il faut tous les lister...)

Bref, en calculant le discriminant du polynôme, on élimine: D7,F42 et ô stupeur S7. Reste plus que les 4 autres zigotos.
Z/7Z franchement, on y croit pas (mais alors pas du tout) A7 non plus, et en fait, je sais que c'est PSL(2,7) (j'ai triché, j'avoue... ).

Ah, et il faut utiliser des résolvants pour s'en sortir, c'est imposé.

Any idea?

On sait aussi que si le résolvant est à racines simples (dans C) et qu'il possède un facteur linéaire (dans Z) alors Gal(P) est inclus (à conjugaison près) dans le stabilisateur du polynôme qu'on a pris pour construire le résolvant.

Heu...je suis pas tres au taquet sur les calculs explcites de groupe de Galois...Je ne connaissais pas les groupes "metacycliques", d'ailleurs c'est quoi que tu appelle un sous groupe transitif de S_7? un sous groupe qui agit transitivement sur {1,2...,7}?

Je ne connaissais pas les groupes "metacycliques" >> Tu veux que je te dise, moi non plus. Et c'est pas super évident de se les répresenter quand on les voit pas dans un contexte mais planté comme ça...

Oui, un sous-groupe transitif de Sn c'est un groupe qui agit transitivement sur {1,...,n}.

En cherchant des trucs sur ces groupes metacycliques je suis tombé sur ça



Ca peut peut etre t'interesser...ou alors peut etre en sors tu ton problème?

Et y a meme la solution a ton probleme

Oui, c'est là que j'ai trouvé à peu près tout ce que je sais sur S7 et ses groupes transitifs.
Merci.