Salut,
Quel est le degré de P(X²) ?
quel est le degré de (X²+1)P(X) ?

salut guillaume

quelques idées.

si degP= n alors degP(X²) = 2n

donc 2n = n+2 => n=2  => deg P=2

P(i²)=P(-1)=0  

donc P(X)=(X+1)R(X)

D.

Bonsoir

Si j'appelle n le degré exact de P, alors



Déjà, les polynômes solutions sont de degrés 2, puisque 2 est la seule solution de 2n=n+2.

Je suppose donc P(X)=aX²+bX+c

Et ensuite ?

Je pensais prendre des valeurs simples : genre X=1 donne P(1)=2.P(1) donc P(1)=0.
Donc 1 est racine de P.

Je me trompe de direction ?

Merci klevia :

Salut disdrometre

Youpi, on a eu la même idée !

J'ai donc P(X)=a(X+1)(X-1) soit P(X)=a(X-1)² avec a réel.

C'est terminé ?

j'ai pas du tout trouvé ça !!!
en posant P(X)=aX²+ bX+ c
j'obtient :
aX^4+bX²+c=(X²+1)(aX²+bX+c)
soit
aX^4+bX²+c=aX^4+bX^3+(a+c)X²+bX+c
soit en identifiant:
b=0 et a+c=0 d'où a=-c

ainsi pour moi, P(X)=aX²-a avec a appartenant à C

Je me suis planté dans l'identité remarquable :

P(X)=a(X+1)(X-1)=a(X²-1)=aX²-a avec a complexe

Bonjour,
il n'y a aucune raison pour que a soit réel.

Ensuite -1 semble être racine également:

On pose x=i et on trouve
p(-1)=0p(i)

Donc ton polynôme est de la forme
a(x^2-1) avec a complexe

On vérifie (synthèse):
p(x^2)=a(x^4-1)=a(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)p(x)

et donc ça fonctionne.

Ainsi les polynômes qui satisfont ton équation sont les polynômes de la forme

p(x)=a(x^2-1)
avec a complexe.

a+

Bonjour otto,

Oui je me suis trompé en écrivant. "a réel" était un réflexe..

Okédac ! Merci à tous

Bonne soirée

Bonjour

Même exo, je demande vérification

Citation :
Déterminer tous les polynômes de tels que :

Salut,
je trouve comme toi mais plus simplement:
P(X)=a(X^3-1) avec a complexe !!!

Salut Klevia

Merci de te repencher dessus
Mais en développant, ce n'est pas la même chose ...

je ne comprends pas pourquoi tu t'intéresses à X^3+1=0 ?
Ce ne serait pas x^3=1 ??

Parce que si x est une racine de x^3+1=0 alors ses racines carrées sont racines de p.

Pardon son carré et non les racines carrées.

Salut Otto

Ses racines au carré sont racines de P, non ?

Ok

Merci ! Et donc, qui a raison ?

Oui, j'ai rectifié, j'ai parlé trop vite.

Je ne sais pas, développe et tu verras si ta condition nécessaire est aussi suffisante.

Moi, j'ai refait l'exo avec la même tactique qu'hier en posant
P(X)=aX^3+bX²+cX+d
en developpant (x^3+1)p(X)=P(x²) et en identifiant ... cela se fait en 3 minutes montre en main !!

Par identification, effectivement P(x)=a(X^3-1) a complexe.

Mais je ne vois pas en quoi j'ai faux, malgré le fait de ne pas avoir pris les bonnes valeurs. J'atteris en effet sur

Ben c'est pas faux, 1,j et j² sont les racines cubique de l'unité dans C et donc
X^3-1=(X-1)(X-j)(X-j²) ...

Grr saleté de Maple ...

Bon et bien encore merci klevia et otto !

bonne soirée

1+j=-j^2
ton problème vient de là.

Non c'est que dans la forme factorisée j'ai pris directement X2 et X3, alors qu'il fallait prendre X2² et X3².

Pensez-vous qu'on peut généraliser :

Tous les polynômes de tels que sont de la forme : ?

Selon moi, rien ne l'empêcherait...

Je suis d'accord

P(X^m)=(Xⁿ+1)P(X) tant qu'à faire ...