Re bonsoir.

Il est clair que tous les polynômes constants conviennent.

Les polynômes de degré 1 ne conviennent pas (pourquoi ?)

Les polynômes de degré 2 s'écrivent sous la forme aX²+bX+c
Si P'(-1)=P'(3)=0, que dire de a, b et c?

les polynomes constants conviennent car leur dérivée est tjs nulle .

les polynomes de degré 1 ne conviennent pas car ils sont monotones , donc leur dérivée n'est jamais nulle .

pour les polynomes de degré 2 , leur dérivée s'écrit 2aX + b .

Pour X = -1 ça donne -2a + b = 0 , pour X = 3 ça donne 6a + b = 0 . ce système est impossible sauf pour a et b nuls

Voila

c'est tout ? donc finalement ya aucun polynome de degré 2 qui vérifie ça ? ben zut alors j'aurais juré du contraire en mattant une parabole .

remarque dans un sens ça m'étonne pas car la fonction est paire donc seule la dérivée par exemple de 1 et -1 peut etre égale , t'es d'accord ?

et la dérivée nulle d'une parabole est seulement en son extremum je crois , t'es aussi d'accord ?

une dérivée nulle => une tangente horizontale.

Il est clair qu'une parabole ne pouvait pas admettre deux tangentes horizontales!

ok c'est très clair , merci beaucoup night