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Polynomes
Bonjour, je suis en train de réviser pour mes partiels et il y a plusieurs points que je ne comprends toujours pas :
tout d'abord j'ai noté ceci :
pour tout P, Q de K[x], PQ=0 => (P=0 ou Q=0). on dit que K[x] est intègre. qu'est ce que ca signifie ??
je n'ai pas compris non plus ce qu'est un polynomes inversible :
un polynome P de K[x] est inversible ssi P appartient à K[x]* = K[x]\{0}
enfin : toute famille (P1, P2, ... Pn) échelonnée en degré est libre ssi pour tout (l1 l2 ... ln) de K, (l1*P1 + l2*P2 + ... + ln*Pn = 0 => l1 = l2 = ... =ln)
(une famille (P1, P2 .. Pn) est dite échelonnée en degré ssi 0 <= deg (P1) < deg (P2) ... < deg (Pn) )
Je ne vois pas du tout l'utilité de cette dernière proposition ....
pouvez-vous me réexpliquer ces notions plus simplement, et avec des exemples si possible.
Merci beaucoup d'avance!
Bonjour,
Il s'agit de notion générale sur les anneaux (si on ne fait pas les anneaux d'abord ça perd effectivement tout sens et on comprend rien).
1) Soit A un anneau (commutatif pour simplifier) on dit que A est intègre si dès que ab =0 alors a ou b est nul (pour tout a et pour tout b dans A .
Exemple : Z est un anneau intègre ! Les matrices 2x2 à coefficients dans Z ne forment pas un anneau intègre car le carré de la matrice avec juste un 1 en haut à gauche et des 0 ailleurs est nul .
Si P et Q sont dans K[X] et vérifie PQ=0 alors les coeeficients dominants de P et Q ont un produit nul donc P et Q sont nuls donc K[X] est intègre (je détaille pas tout)
2) On dit que a est inversible dans l'anneau A s'il existe b dans l'anneau tel que ab=1 . On note A* les inversibles de l'anneau.
Exemple dans Z ab=1 entraîne a=1 ou -1 donc Z*= les inversibles de Z={-1,1}
Dans un corsp K tous les élements sauf 0 sont inversibles donc K*=K-{0}
Dans K[X] si P est inversible il exiet Q tel que PQ=1 mais le degré d'un produit est la somme des degrés donc P et Q doivent être des constantes donc K[X]*=K* .
Pour les polynômes la proposition est :
"toute famille échelonnée est libre" effectivement c'est idiot et ça ne sert à rien de mettre ça dans le cours .(c'est pourtant dans le NOUVEAU programme d'agreg !)
C'est un cas particulier de famille libre qu'il est facile de prouver, tu connais les espaces vectoriels.. les familles libres servent à fabriquer des bases et les bases à écrire touts les élements...et à résoudre des systèmes linéaires etc....
merci pour les réponses !
j'espère que ca va m'aider pour les révisions, mais c'est pas gagné, tellement ce sont des notions flous ...
merci quand même !!
je n'arrive toujours pas à comprendre, pour la démonstration de P inversible dans K[X] <=> P appartient à K* ;
il existe Q tq PQ=1 or Deg(PQ) = Deg(P)+Deg(Q) = 0 , Deg(P) = Deg(Q) = 0
jusque là tout va bien, mais je ne comprends pas en quoi si Deg(P) = Deg(Q) = 0 ALORS K[X]*=K* ...
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