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polynomes

Posté par
mouss33 09-11-08 à 15:21

Bonjour tout le monde

J'ai un exercice très court à faire mais donc j'ai beaucoup de mal!

voici l'énoncé:

soit u=a+b+c, v=a²+b²+c² et w=a^3+b^3+c^3

calculer a^4+b^4+c^4 en fonction de u,v et w avec la remarque suivante : on pourra se servir des relations entre coefficients et racines d'un polynomes.

Bon ca fait un moment que je fais des calculs et je suis arrivé à plusieurs relations.
ab+ac+bc=\frac{u^2-v}{2}
ab^2+ba^2+bc^2+cb^2+ac^2+ca^2=uv-w
abc= \frac{u^3-3uv+2w}{6}

Mais après je ne sais pas comment continuer.

En fait pour pas mentir, je ne sais même pas si ce que j'ai fait sers à quelques choses...

quelqu'un aurait une idée?

Posté par
perroquetre : polynomes 09-11-08 à 15:47

Bonjour, mouss33

Avec ces 3 égalités et ce que tu as trouvé, tu devrais pouvoir terminer:

a^4+b^4+c^4 = (a³+b³+c³)(a+b+c) - (a³b+a³c+b³a+b³c+c³a+c³b)

(a³b+a³c+b³a+b³c+c³a+c³b)= (a²+b²+c²)(ab+bc+ca) - (a²bc+ab²c+abc²)

(a²bc+ab²c+abc²) = abc (a+b+c)

Posté par
robby3re : polynomes 09-11-08 à 15:53

Salut,
regarde P(X)=(X-a)(X-b)(X-c)=X^3-uX^2+\frac{1}{2}(u^2-v)X-\alpha

tu regardes P(a),P(b),P(c)=0 et tu obtiens:

w-uv+u.\frac{1}{2}(u^2-v)-3\alpha=0
tu calcules \alpha

tu recommences avec aP(a),bP(b),cP(c)...

Posté par
mouss33re : polynomes 09-11-08 à 15:53

merci infiniment perroquet!!!!

En fait je me doutais qu'il fallait que je fasse apparaitre des exposants 4 mais je tombais dans des calculs horribles!

Déjà, je ne suis pas sur que mes calculs précédents sont justes parce que j'ai bien du faire une erreur de calcul! mais je vérifirais ça quand je mettrais tout au propre!

Merci encore pour ces factorisations!!!

Posté par
mouss33re : polynomes 09-11-08 à 16:00

lol en fait tu trouves le même polynome que moi sauf que vu que je ne savais pas duquel partir, j'ai retrouver les coefficients à partir des relations entre les coefficients et les racines!


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