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Polynômes

Posté par
masterrr 01-01-09 à 15:43

Bonjour,

Je travaille sur l'exercice dont voici l'énoncé de la première partie ainsi que mes réponses.
J'ai du mal à terminer la fin de cette partie alors un petit coup de pouce serait le bienvenue !
D'avance merci.


Partie A

1. Exhiber 5$ P_0, P_1, P_2, P_3 \in \mathbb{R}[X] tels que pour tout 5$ n \in [|0,3|] et 5$ z \in \mathbb{C}^*, P_n(z+\frac{1}{z})=z^n+\frac{1}{z^n}.

2. Développer 5$ (t^n+\frac{1}{t^n})(t+\frac{1}{t}).

3. Montrer que pour tout 5$ n \in \mathbb{N}, il existe 5$ P_n \in \mathbb{R}[X] tel que : 5$ \forall z \in \mathbb{C}^*, P_n(z+\frac{1}{z})=z^n+\frac{1}{z^n}.
________________________________________________________________________________________________________

Partie A

1. 5$ P_0=2, P_1=X, P_2=X^2-2 et 5$ P_3=X^3-3X.

2. 5$ (t^n+\frac{1}{t^n})(t+\frac{1}{t})=t^{n+1}+t^{n-1}+\frac{1}{t^{n-1}}+\frac{1}{t^{n+1}}.

3. Je pensais raisonner par récurrence mais je bloque...

Soit la propriété : "Il existe 5$ P_n \in \mathbb{R}[X] tel que : 5$ \forall z \in \mathbb{C}^*, P_n(z+\frac{1}{z})=z^n+\frac{1}{z^n}".

* Initialisation : pour 5$ n=0

5$ P_0=2 \\ P_0(z+\frac{1}{z})=2 \\ z^0+\frac{1}{z^0}=1+1=2

la propriété est donc vérifiée au rang 0.

* Hérédité : supposons la propriété vraie pour un certain rang 5$ n.

La propriété au rang 5$ n+1 est-elle vraie ? C'est-à-dire : existe-t-il 5$ P_{n+1} \in \mathbb{R}[X] tel que : 5$ \forall z \in \mathbb{C}^*, P_{n+1}(z+\frac{1}{z})=z^{n+1}+\frac{1}{z^{n+1}}.

C'est à cette partie que je bloque...

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
parc64re : Polynômes 01-01-09 à 15:50

Sers toi de la question 2 et crée le polynome n+1 en fonction du polynome n.

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes 01-01-09 à 15:51

Bonjour

Le début est correct.

Pour finir l'hérédité: en supposant qu'il existe pour 0\leq k\leq n des polynômes P_k vérifiant la propriété, d'après 2) on a

z^{n+1}+\frac{1}{z^{n+1}}=P_{n-1}(z)-P_1(z)P_n(z) Il suffit donc de poser P_{n+1}=P_{n-1}P_1P_n pour avoir un polynôme convenable.

Posté par
masterrrre : Polynômes 01-01-09 à 15:58

Merci parc64 .

Si j'ai bien compris, il faut écrire 5$ P_{n+1}=P_n(z+\frac{1}{z})(z+\frac{1}{z})-z^{n-1}-\frac{1}{z^{n-1}}.

C'est correct ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes 01-01-09 à 16:03

J'avais une faute de frappe! P_{n+1}=P_{n-1}-P_1P_n et tu vérifies que ce polynôme convient.

Posté par
parc64re : Polynômes 01-01-09 à 16:06

Oui c'est ça

Posté par
masterrrre : Polynômes 01-01-09 à 16:08

Oui je viens de le remarquer. Effectivement Camélia, avec 5$ P_{n+1}=P_{n-1}P_1P_n ça marche !

Merci .

Par contre, pour prouver l'hérédité, on utilise non seulement la propriété au rang n mais aussi celle au rang 1 et n-1.

Du coup si je dis qu'on suppose la propriété vraie pour un certain rang n ça ne suffit pas ?!

Il faut que je suppose la propriété vraie pour les rangs 1, n-1 et n non ? (ou alors supposer la propriété vraie JUSQU'AU rang n... ?)

Posté par
parc64re : Polynômes 01-01-09 à 16:30

Oui tu as le droit de supposer jusquau rang n inclus pour montrer le rang n+1.

Posté par
masterrrre : Polynômes 01-01-09 à 16:37

Voilà la suite de l'exercice...

Partie B

1. Etudier rapidement et représenter le graphe de 5$ \Phi : t \in \mathbb{R}^* 5$ t+\frac{1}{t}. Que vaut 5$ \Phi(\mathbb{R}^*) ?

2. Montrer l'unicité des polynômes 5$ P_n de la question 1.

3. Exhiber une fonction 5$ f_3 : \mathbb{C} 5$ \mathbb{C} (non polynomiale !) différente de la fonction 5$ P_3 telle que pour tout 5$ t \in \mathbb{R}^*, f_3(t+\frac{1}{t})=t^3+\frac{1}{t^3}.

4. On note 5$ \Psi : z \in \mathbb{C}^* 5$ z+\frac{1}{z}. Montrer que 5$ \Psi(\mathbb{C}^*)=\mathbb{C}.

5. Montrer qu'il n'existe pas de fonction 5$ g_3 : \mathbb{C} 5$ \mathbb{C} différente de 5$ P_3 telle que : 5$ \forall z \in \mathbb{C}^*, g_3(z+\frac{1}{z})=z^3+\frac{1}{z^3}.
___________________________________________________________________________________________________________

1. Après étude, 5$ \Phi est croissante sur 5$ ]-\infty,-1] \cup [1,+\infty[ et décroissante sur 5$ ]-1,0[ \cup ]0,1[. Voir également la courbe jointe.

5$ \Phi(\mathbb{R}^*)=]-\infty,-2] \cup [2,+\infty[

2. Je bloque un peu sur cette question. Je suis parti en supposant qu'il existe deux polynômes 5$ P_n et 5$ Q_n vérifiant la propriété citée plus haut. Et je voudrais montrer que 5$ P_n=Q_n pour prouver l'unicité de ces polynômes. Mais je ne vois pas comment continuer...

Polynômes

Posté par
parc64re : Polynômes 01-01-09 à 16:41

Ba par récurrence Pn et Qn sont de degré n Pn-Qn admet une infinité de racines donc est nul je sais pas si cest ça cest un peu simple...

Posté par
masterrrre : Polynômes 01-01-09 à 16:49

Comment montre-t-on que 5$ P_n-Q_n admet une infinité de racines ?

Posté par
parc64re : Polynômes 01-01-09 à 16:50

Les z+1/z pour z différent de zero.

Posté par
masterrrre : Polynômes 01-01-09 à 16:58

Oui effectivement... merci.

A-t-on réellement besoin de prouver par récurrence que 5$ P_n et 5$ Q_n sont de degré 5$ n ? A quoi cela sert-il ?

Ne peut-on pas simplement dire que 5$ P_n-Q_n admet une infinité de racines donc est nul ?

Posté par
parc64re : Polynômes 01-01-09 à 16:59

Oui car c'est un polynome cest vrai.

Posté par
masterrrre : Polynômes 01-01-09 à 17:07

OK merci.

Je n'arrive pas à exhiber de fonction qui réponde aux conditions de la question 3... (mise à part la même que dans la partie A mais on en attend une différente et non polynomiale...).

Posté par
parc64re : Polynômes 01-01-09 à 17:10

Moi je poserais x=t+1/t j'exprimerais t en fonction de x et je remplacerais simplement.

Posté par
masterrrre : Polynômes 01-01-09 à 17:21

Je ne vois pas comment exprimer t en fonction de x. Je n'ai pas saisi la méthode, mais je veux bien essayer.

Posté par
masterrrre : Polynômes 02-01-09 à 14:03

Bonjour,

Je n'arrive pas à trouver de fonction pour la question 3 de la partie B...

Pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes 02-01-09 à 16:19

Rebonjour

Comme on n'impose rien à ta fonction, tu peux prendre f_3(t)=P_3(t) pour t\in R_+^* et n'importe quoi ailleurs! par exemple f_3(z)=0 pour z\in C\setminus R_+^*.

Posté par
masterrrre : Polynômes 02-01-09 à 20:03

Merci mais je pense que vous avez mal lu l'énoncé.

En effet, je dois trouver une 5$ f_3 DIFFERENTE de 5$ P_3...

De plus, en prenant 5$ f_3(z)=0 comme vous le proposez, on obtient 5$ f_3(t+\frac{1}{t})=0 alors qu'il faudrait que l'on ait 5$ t^3+\frac{1}{t^3}.

Si vous trouvez une fonction qui réponse à ces conditions, je vous écoute !

Merci d'avance .

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes 03-01-09 à 14:19

Je continue à prétendre que ma fonction convient. Elle est bien différente de P_3 (regarde ce qui se passe en -1, et elle vérifie l'identité pour t > 0

Posté par
masterrrre : Polynômes 03-01-09 à 16:28

Ah oui je viens ce comprendre ce que vous avez voulu dire.

En fait f_3 et P_3 sont bien différentes puisqu'on les prend définies sur des domaines différents, c'est ça ?

Une dernière interrogation tout de même : f_3 doit être non polynomiale. Mais avec la fonction que vous avez proposée, ne l'est-elle pas ?

D'avance merci.

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes 04-01-09 à 13:45

Non, puisqu'elle a une infinité de zéros et qu'elle est non nulle.

Posté par
masterrrre : Polynômes 04-01-09 à 14:55

Je bloque encore sur la suite...

Partie C

1. Soient 5$ n \in \mathbb{N} et 5$ \theta \in \mathbb{R}. Que vaut 5$ P_n(2\cos\theta) ? Pour se donner une idée du résultat, on pourra regarder ce qui se passe pour 5$ n \le 2.

2. Montrer que 5$ P_n admet au moins 5$ n racines distinctes;

3. Combien 5$ P_n possède-t-il de racines ? Factoriser 5$ P_n.

4. On rappelle que pour tout 5$ n \in \mathbb{N}, il existe un unique 5$ T_n \in \mathbb{R}[X] tel que pour tout 5$ \theta \in \mathbb{R}, T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta). Donner (en justifiant) une relation entre 5$ T_n et 5$ P_n.
___________________________________________________________________________________________________________

1. Pour la question 1 je n'arrive pas à généraliser le résultat. J'ai regardé ce que ça donnait pour 5$ n \le 2 avec les 5$ P_k (k \le 2) que j'avais trouvé à la toute première question.

Du coup, j'obtiens : 5$ P_0(2\cos\theta)=2, P_1(2\cos\theta)=2\cos\theta et P_2(2\cos\theta)=4cos^2\theta-2. Et ça ne m'inspire pas grand chose en fait...

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
masterrrre : Polynômes 04-01-09 à 17:42

S'il vous plaît, j'aimerais terminer cet exercice avant demain.

Merci !

Posté par
masterrrre : Polynômes 04-01-09 à 18:43

Je tâtonne sans trouver le résultat au final alors j'aurais besoin d'un petit coup de pouce s'il vous plaît.

Pour le moment je dirais que :

* pour n impair, 5$ P_n=\Bigsum_{k=1}^n\cos^k\theta (avec k impair) ;
* pour n pair, 5$ P_n=\Bigsum_{k=2}^n\cos^k\theta (avec k pair).

Il me reste le problème des constantes et des coefficients devant les cosinus.

Pour les coefficient, je pense à quelque chose de la forme 5$ n2^{n-k} mais ça coince encore...

Posté par
masterrrre : Polynômes 08-01-09 à 19:23

Bonsoir,

Je bloque sur la question suivante.

On note 5$ \Psi : z \in \mathbb{C}^* 5$ z+\frac{1}{z}. Montrer que 5$ \Psi(\mathbb{C}^*)=\mathbb{C}.

___________________________________________________________________________________________________________

En fait, je ne vois pas comment aborder cette question puisque je ne sais pas étudier de fonction définie de 5$ \mathbbb{C} dans 5$ \mathbb{C}.

Je pense qu'il y a une autre façon, alors ce serait gentil de m'éclairer.

Merci d'avance !

Posté par
Camélia Correcteurre : Polynômes 09-01-09 à 14:15

Il suffit de montrer que pour tout u l'équation z+(1/z)=u admet des solutions non nulles, ce qui est pratiquement évident!


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