Bonjour,
(S²+T²).(U²+V²)=S²U²+S²V²+T²U²+T²V²
               =(S²U²-2SUTV+T²V²)+(T²U²+2TUSV+S²V²).
Cordialement.

oui j'ai fais ça mais maintenant il s'agit d'etablir  que l'ensemble  des polynômes de [X] qui sont somme de deux carrés de polynômes est stable par produit

Bonjour

il s'agit de prouver que le produit de deux polynômes qui sont somme de deux carrés est encore la somme de deux carrés : c'est exactement l'objet de ta question précédente

Le début de l'exercice commençait comme ça:
      
                      On considère P 0 valeurs 0
   On se propose de monter qu'ils existent (A,B)[X]^2 tel que
                                        P=A^2+B^2


1 Monter que le résultat est vrai pour d°P2
      ça à l'air pas bien compliqué mais je n'arrive pas à faire quelque chose de rigoureux
      Ce que j'ai fais c'est que j'ai distingué  d°P=0,1,2 et j'ai imposé des conditions sur les coefficients
      mais il y a peut être mieux ..... si vous avez une idée :

merci

P ne prend que des valeurs positives ? s'il est constant, il est égal au carré de sa racine + carré de 0
il ne peut pas être de degré 1
s'il est de degré 2, il ne peut pas avoir plus d'une racine
s'il en a une, il s'écrit carré de a(X_racine)
s'il n'en a pas, sa forme canonique est une somme de deux carrés ....

il faut lire a(X - racine)