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Polynômes

Posté par
Maitreidmry 04-10-09 à 19:10

Bonjour,

Avez-vous une idée concernant la question suivante :

Trouver tous les polynômes de C[X] tels que P(U) est inclus dans U.
(où U vous l'aurez compris est l'ensemble des complexes de module 1)

-> j'ai réussi à me convaincre que seuls les X^n convenaient, mais je n'arrive pas à le prouver. L'idée de dire que le conjugué de z est en fait 1/z doit servir à mon avis.

Merci

Posté par
perroquetre : Polynômes 04-10-09 à 19:24

Bonjour, Maitreidmry

Voici une indication pour ton exercice
Supposons que  P(U) est inclus dans U.
Alors, pour tout theta de R:   3$ P(e^{i\theta})\overline{P(e^{i\theta})}=1

On obtient une combinaison linéaire de  \theta \mapsto e^{ik\theta} (famille libre) qui doit être égale à 1 ...

Posté par
lolo271re : Polynômes 04-10-09 à 19:48

Déjà  les   e^{i \theta} X^n  conviennent aussi.

Posté par
Maitreidmryre : Polynômes 04-10-09 à 23:21

Merci pour l'indication mais je ne vois pas comment conclure...

J'avais sous-entendu ces polynômes Lolo
Tout machin de la forme X^n + X^m ne marche pas (vérification élémentaire).

On peut écrire P(z).P_(1/z)=1. (P_ = P barre, desolé j'écris depuis un iPhone), mais comment conclure ?

Posté par
perroquetre : Polynômes 05-10-09 à 00:33

Notons   3$ P(X)=\sum_{k=p}^n a_k X^k,    avec  a_n 0   et a_p 0.

3$ P(e^{i\theta})\overline{P(e^{i\theta})}= \sum_{k=p}^n\sum_{m=p}^n a_k\overline{a_m}e^{i(k-m)\theta}=\sum_{u=p-n}^{n-p}\lambda_u e^{iu\theta}=1     (cette dernière égalité étant une conséquence de l'hypothèse).

Comme la famille des applications   \theta \mapsto e^{iu\theta}, u décrivant , est une famille libre, on a:   \lambda_0=1 \,\,\, \lambda_u=0  autrement.

Supposons que p soit distinct de n. On aurait:
3$\lambda_{n-p}=a_n\overline{a_p} \neq 0
Ce qui est contradictoire.

Donc n=p.

Posté par
Maitreidmryre : Polynômes 05-10-09 à 14:43

Très bonne idée d'introduire la valuation de P.
En partant de 0, je ne voyais pas trop ou était la contradiction.
Merci beaucoup !


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