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Polynomes
Bonjour !
1) soit n appartient N*, montrere sans faire de récurrence que le polynome (X+1)^n-X^n est de degré (n-1)
et a toutes ses racines de multiplicité 1. Déterminez les .
pour le degré je pense y etre arrivé mais la suite je bloque..
2) soient A B appartiennent à K[X] privé de 0 premiers entre eux
Mon trere que PGCD (A²,B²)=1
3)soit n appartient à N*
Déterminer une condition necessaire et sufisante portant sur n pour X²+X+1 divise X^2n+X^n+1 cest a dire montrer que X²+X+1 divise X^2n+X^n+1 si et ssi n verifie ...
Merci !
bonsoir
1)si a est une racine multiplie d'un polynôme, cela signifie qu'elle est racine du polynôme et du polynôme dérivé... cela va te mener à a+1=a ... ce qui est impossible
:?a ma question 1 je dois demontrer que mon polynomes a des racines simples et je dois les determiner ...??
oui, ben il faut déjà montrer qu'il n'a que des racines simples... c'est à dire pas de racines multiples... c'est ce que j'ai abordé dans mon indication (je ne fais qu'une chose à la fois!)
non je ne vois pas trop ...mais je lai lu oui
par contre je dois m'absenter 30minutes
a tout a lheure !
ah d'accord ...
par contre pr le 2) je partais avec le theoreme de gauss mai je tourne en rond
il faut que je demontre que si a et b sont premiers entre eux alors PGCD (a²,b)=1
et PGCD(a²,b²)=1 aussi
Bonjour,
Le 2) est évident comme k est un corps (je suppose) k[X] est factoriel, l'uncité de la décomposition en facteurs irreductibles assure que A² et B² sont premiers entre eux des que A et B le sont (et reciproquement)
enfin je pense qu'il faut un peu plus le démontrer..
exemple:
PGCD(a,b)=1
au+bv=1
(au+bv)²=1
a²u²+(2auv+v²b)=1
donc PGCD(a²,b²)=1 non ?
pour l'autre je sais pas trop...
Pour l'équation 1°) résous en passant par les complexes. Tu trouveras n-1 racines distinctes.
Pour AU+BV = 1 : revois tes calculs.
Il n'y a pas besoin de bezout... ecrit A=P1..Pr la décompoition en produit 'éléments irreductibles de A (eventuellement avec répétitions) de meme B=Q1...Qs, comme A et B son premiers entre eux, ils n'ont aucun facteur irreductible en commun, maintenant A²=P1²...Pr² et B²=Q1²...Qs², n'ont aucun polyome irreductible qui divise a la fois l'un et l'autre
je reviens a la 1) j'ai vu que e(2ikpi)/n avec k appartient (0,....,n-1)
si n=2 alors les racines sont 1 -1
=3 1 j j²
=4 1 -1 i -i
c'est ça pr les racines ?
je ne comprend pas comment faire ma question 3)
3)soit n appartient à N*
Déterminer une condition necessaire et sufisante portant sur n pour X²+X+1 divise X^2n+X^n+1 cest a dire montrer que X²+X+1 divise X^2n+X^n+1 si et ssi n verifie ...
petits rappels :
(X-a) divise un polynôme Q ssi Q(a)=0
si a
b, (X-a)(X-b) divise Q ssi Q(a)=0 et Q(b)=0
cherches les racines de P(X)=X²+X+1 et factorise déjà P
Les racines de X² + X + 1 sont les deux nombres complexes classiques : j et j²
Ils ont pour module 1 et pour arguments et
On a bien sûr j3 = 1 et 1 + j +j² = 0
j racine de X2n + Xn + 1 
j2n + jn + 1 = 0
Prend la forme exponentielle pour résoudre.
/3+ei2Z est racine de X2n+Xn+1 Zn racine de X²+X+1
donc j est racine de X2n+Xn+1 jn racine de X²+X+1
c'est à dire jn=j OU jn=j²
et il faudra faire la même chose ensuite avec j²
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