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polynomes

Posté par
burton 24-01-10 à 07:39

bonjour, voila on suppose que z1,...,zn sont n complexes non nuls distinct tels que Pn-1[X], P(0)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n P(zk)
on pose (X)=\prod_{k=1}^n(X-zk) et pout tout m{1,...,n} m(X)=\prod_{k=1}^n(et km)(X-zk)

1) comment calculer m(zm) et m(0) a l'aide de
2) comment montrer que (0)=-\frac{1}{n}zm'(zm)

voila merci a tous

Posté par
blangre : polynomes 24-01-10 à 09:15

Bonjour

1) En choisissant P=\varphi_m, on obtient \varphi_m(0)=\frac{1}{n}\varphi_m(z_m). D'autre part \varphi^'(X)=\sum_{k=1}^{n}\varphi_k(X) donc \varphi^'(z_m)=\varphi_m(z_m).
Finalement \varphi_m(z_m)=\varphi^'(z_m) et \varphi_m(0)=\frac{1}{n}\varphi^'(z_m).
2) On a \varphi(X)=(X-z_m)\varphi_m(X) donc \varphi(0)=-z_m\varphi_m(0)=-\frac{1}{n}z_m\varphi^'(z_m).

Ce truc m'évoque l'exercice suivant : Exo défi: Polynômes et polygônes.

Posté par
burtonre : polynomes 24-01-10 à 09:35

merci blang

Posté par
blangre : polynomes 24-01-10 à 09:52

Pas de quoi

Posté par
burtonre : polynomes 24-01-10 à 10:38

http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\varphi^'(X)=\sum_{k=1}^{n}\varphi_k(X)
comment le montrer ?

Posté par
blangre : polynomes 24-01-10 à 17:25

Si 3$ P=\prod_{k=1}^{n}P_k, alors :
3$ P^'=\sum_{k=1}^{n} \left( P^'_k\prod_{ \begin{array}{c}j=1 \\j \not = k \end{array}}^{n}Pj \right) .


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