merci pour vos réponses

Bonjour.

Tu connais les racines de X² + X + 1 : j et j². Avec la grosse propriété : j³ = 1

Remplace X par j et j² dans l'expression donnée.

Donc J²+J+1=0

mais je ne vois toujours pas comment faire.
Je ne dois pas être trés doué

Le plynôme admet deux racines dans . Si ces mêmes racines sont racines de , alors divise . Vu ce que t'a dit Raymond, est-ce le cas ?

A +

Par exemple, tu pourras écrire

A +

ha oui donc :

J^3m+2+J³ⁿ⁺¹+J^3p= (J³)^mJ²+(J³)ⁿJ+(J³)^p = 1^mJ²+1ⁿJ+1^p= J²+J+1=0

Donc ces deux polynomes ont mm racines. c'est bien comme cela ?

C'est Ok !!!

A +

merci beaucoup messieurs , c'est trés clair

Juste une dernière petite question:
lorsqu'on veut montrer qu'un polynome Q divise un polynome P, faut il toujours montrer qu'ils ont mm racines comme dans cet exercice?

Attention, tu as vérifié pour . Que ce passe-t-il pour ?

A +

Pour ta question : Non ! Il y a d'autres méthodes algébriques que tu verras en temps voulu.

A +

Que se passe-t-il pour ?

A +

D'aprés mes calculs , c'est la mm chose. J² est aussi une racine des deux polynomes

Je veux voir tes calculs.

A +

(J²)^3m+2+(j²)³ⁿ⁺¹+(J²)^3p=J^6m+4+J⁶ⁿ⁺²+J^6P=(J³)^2mJ⁴+(J³)²ⁿJ²+(J³)^2p= J⁴+J²+1 =(J²)²+j²+1=0

On peut donc dire P=X^3m+2+X³ⁿ⁺¹+X3p=(X-J)(X-J²)Q  avec QK[X]

et comme (X-J)(X-J²)=X²+X+1, cela donne donc la divisibilité de P par X²+X+1

C'est bien cela?

Salut!
Il faut quand meme faire attention que ce que tu fais ici marche parce que 1+t+t^2 est a racines simples. Sinon avoir un set de racines plus petite n'implique pas d'etre un diviseur.
Par exemble t(t-1)^2 ne divise pas t(t-1)(t-2).
Juste pour la precision.