En remplaçant P(X) par cette expression, calcule P'(X), puis exprime que F(P)=((n-k)/n)P
Cette relation se simplifie en divisant par (X-1)^r
Remplace alors X par 1 dans la relation simplifiée, et montre que k=r (car R(1) n'est pas nul)
Déduis en alors que R'(X)=0 d'où R(X)=constante et P(X)=C(X-1)^r

euh je n'arrive pas à trouver votre expression .. je suis bloqué à :
(n-k(X-1)^rR)/n = (X-1)^rR+(1/n)(1-X)(r(X-1)^r-1R+(X-1)^rR')

*** message déplacé ***

multiplie tout par n pour y voir plus clair, simplifie par (X - 1)^r ....

*** message déplacé ***

ok merci
juste, est ce que P'(X)=r(X-1)^r-1R+(X-1)^rR'             ?

euh j'arrive à
n+R(-k-n)=(1-X)((r/(X-1)R+R') ... et je n'arrive pas à avoir pareil que vous ...

*** message déplacé ***

Oui ...

ok merci
j'arrive à
n+R(-k-n)=(1-X)((r/(X-1)R+R') pour exprimer  F(P)=((n-k)/n)P  ... ça me semble bizarre ..

Très confus.
D'où sort ce n tout seul devant ?
Pourquoi s'obstiner à mette (1-X) en facteurs alors que (1-X)=-(X-1) et (1-X)/(X-1)=-1 ?
Tu dois trouver
(k-r)R(X)=(X-1)R'(X)
Revois ton calcul.

1-X est l'opposé de X-1 ...

*** message déplacé ***

et dans F(P)= ((n-k)/n) P la parenthèse rouge est INDISPENSABLE !

*** message déplacé ***

c'est bon j'ai trouvé merci !!

*** message déplacé ***

c'est bon j'ai trouvé (k-r)R(X)=(X-1)R'(X)  !

et le degré de R c'est 0 ?

et du coup après j'ai réussi à montrer que r=k et on me demande le degré de R, c'est bien 0?

*** message déplacé ***

Je l'ai dit plus haut. R est constant. (Post du 31 à 17:24)

euh mais c'est parce que R=(1-X)R'  /  (-k+r)    ?
comment vous trouvez la dérivée ?

(k-r)R(X)=(X-1)R'(X)  (9:13)
Pour X = 1 :
(k-r)R(1) = 0 (X-1 s'annule)
On sait que R(1) non nul donc k-r = 0, k=r.
La première ligne devient, puisque k-r = 0 (ne surtout pas diviser par k-r ...):
0.R(X)=(X-1)R'(X)
donc
(X-1)R'(X)=0
X-1 n'étant pas toujours nul, R'(X) est nul pour une infinité de valeur, c'est donc le polynôme nul.
Donc R est un polynôme constant

oui d'accord donc de degré 0 ?

ça me parait correct

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Les polynômes constants non nuls sont de degré 0. Le polynôme nul n'a pas de degré, ou on lui attribue le degré - par convention. L'énoncé spécifie que P n'est pas nul, R ne peut donc être nul, il est bien de degré 0.

ok merci
c'est bien parce que R(r-k) ?

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ok merci beaucoup !
et après je dois trouver tous les polynômes PE tels que F(P)=((n-k)/n)P

je pensais à:
P(X)+(1/n)(1-X)P'(X)(n/(n-k))=P
puis résoudre l'équation et trouver P qui représentera tous les polynômes
mais je ne suis pas sûr ...

On vient de répondre, puisque r=k et R(X)=C une constante ...
P(X)=C(X-1)^k

mais c'est quoi le C ?

=(1-X)R', oui
du coup si r=k, c'est que R' = 0, donc R est constant

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ok merci beaucoup !
et après je dois trouver tous les polynômes PE tels que F(P)=((n-k)/n)P

mais je ne vois pas trop comment faire ...je sais que 1 est solution donc j'écrirais que P(X)= (X-1)^r
mais c'est pas très net pour moi ...
en fait on peut toujours factoriser un polynôme de cette manière non ?

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ne viens tu pas de trouver r et R ? tu n'as plus qu'à tout remettre ensemble ...

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euh c'est à dire?

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r et R n'étaient ils pas liés aux P qui vérifient f(P) = ((n-k)/n)P ?

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Si ...
et donc ? ...

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et donc tu as trouvé que ces P là s'écrivaient , avec r et R etc ...

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ok merci

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ok merci! mais ça vient de quelle formule en fait je vois pas?

Ha oui d'accord! merci beaucoup pour votre aide !