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polynômes / algèbre linéaire
Bonjour,
J'ai un problème avec l'énoncé de mon dm de maths...
Dans mon dm est définie une application f avec laquelle je n'arrive à strictement rien faire! alors qu'on a besoin de l'avoir compris pour faire toutes les questions suivantes...
Je vous donne l'énoncé :
Soit T(X) un polynôme fixé de 
[X] de degré n. Spot f l'application définie sur [X] qui à tout P(X) de [X] associe Q(X)+X*R(X) où Q(X) et R(X) sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de P(X²) par T(X). (On a donc P(X²)=Q(X)T(X)+R(X) avec deg(R(X))<deg(T(X)). On notera fn la restriction de f à n[X]
1) Montrer que f est une application linéaire.
J'ai repris tout simplement la définition d'une application linéaire pour cette question même si je ne suis pas très convaincue...
2) Montrer que fn est un endomorphisme de l'espace vectoriel (n[X],+,.).
Je ne vois pas du tout ce qu'est fn. En fait je pense que je n'ai pas du saisir quelque chose, je n'arrive pas du tout à voir à quoi correspond f, fn, je ne sais pas du tout comment manipuler cette application.
Pourriez vous m'aider?
Merci beaucoup
Marion
Bonjour, marion988
Tu dis que tu as du mal à visualiser f, ou f_n. Je te conseille de prendre un exemple, en prenant
n=2
T=X²
Alors, par exemple:
f(X²)=X²
f(X)= 1
f(1)= X
f(X³)=X⁴ ...
Ici, f_2 est la restriction de f à C_2[X].
Donc, f_2(aX²+bX+c)=aX²+b+cX
Venons-en au problème général. f_n est la restriction de f à C_n[X], et f est une application linéaire, donc f_n est une application linéaire. Il reste à montrer que f_n est bien à valeurs dans C_n[X].
Soit P dans C_n[X]. P(X²) est de degré inférieur à 2n, le quotient de P(X²) par T (qui est exactement de degré n) est donc de degré inférieur ou égal à n. Le reste R est lui de degré inférieur ou égal à n-1, ce qui permet d'affirmer que Q(X)+XR(X) est de degré inférieur ou égal à n, donc dans C_n[X]
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