Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Polynômes caractéristiques et matrices compagnon
Bonjour,
Je n'arrive pas à traiter deux questions sur un exercice.
Soit P un polynôme unitaire.
On notre Cp la matrice compagnons qui lui est associée
On a montrer que le polynôme caractéristique de Cp : Xcp = (-1)^n * P.
1 -
Soit Q 
K[X] /
Trouver UNE CNS tq Il existe A Mn(K) / le polynôme caractéristique de A : Xa = Q
Réponse 1 -
J'ai trouvé comme CNS Q est unitaire
Si Q unitaire alors A = Cq
on a Xa = (-1)^n * Q
>>>> Je ne vois pas bien comment justifier le fait que n doit être pair
Réciproquement :
Si Il existe A tq Xa = Q
Xa est polynôme caractéristique d'ou Xa est de la forme (-1)^n X^n + ... + det(A)
Xa est donc unitaire
--------------------------------------------------
2-
Sachant que l'on a montré que sp(tCp) = Sp(Cp)
Trouver le ssev propre engendré par 
sp(tCp).
Réponse 2 -
J'ai calculer Ker((tCp - In)
et puis je ne trouve pas.
PS : Matrice compagnon : http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_compagnon
Attention, avec ta définition de polynôme caractéristique, il ne faut pas dire unitaire mais *(polynôme unitaire). Sinon, ce que tu as écris comme justification est OK.
Pour la dernière question, ce n'est pas si compliqué... il faut penser à quel pourrait-être le rapport entre un vecteur et son image dans le cas particulier qui nous est posé. Ne voit-on pas un polynôme (dont on a les racines) qui saute aux yeux ?
Merci de ta réponse.
je pense que si on change en Q=(-1)^n * Poly Unitaire sa ne marche plus...
car Q n'est plus unitaire donc l'affirmation Xa = (-1)^n Q n'est plus valable
POur la 2-
J'ai écris la transposé de Cp et j'ai fait le calcul de Ker((tCp - In) et j'aubtien {xIK^n / 
i[1;n-1], xi+1=xi}
avec x = (x1, ... , xn)
mais je ne tien pas compte ici de la dernière équation que me donne la matrice à savoir
-a0x1 - a1x2 - ... -(+an-1)xn = 0
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac