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polynômes d'endomorphismes
Bonsoir!
J'ai du mal à résoudre une question, et je voulais savoir si quelqu'un avait une idée:
on considère un K-ev E de dimension finie et f un endomorphisme de E. Pour tout polynôme P(X)=
(pour k=0 à n) a[/sub]k X[/sup]k de K[X], on pose
P(f) = 
(pour k=0 à n) a[sub]k f[sup]k.
On note 0 l'endomorphisme de E.
La première question demandait de montrer que 
: P
K[X] 
P(f) L(E)
était linéaire, je l'ai faite.
Puis on pose pour tout k 
P[/sub]k(X)=X[/sup]k.
Je n'arrive pas à montrer que pour tout QK[X], on a:
(P[sub]kQ) = f[sup]k "rond" Q(f).
J'ai essayé par récurrence, sans succès, puis en écrivant Q sous la forme d'une , sans succès aussi! Alors je ne sais plus trop quoi faire...
Si vous avez une idée pour m'aider, merci d'avance!
Ton énoncé est en grande partie illisible, surtout la dernière question qui te pose problème. Utilise "Aperçu" avant de "Poster".
Ce genre de questions est en principe un jeu assez simple d'application des définitions, à condition de les prendre par le bon bout et d'avancer rigoureusement pas à pas.
Merci pour le conseil, mais je n'arrive pas à poster lisiblement avec les symboles, je suis désolée. Je vais mettre la dernière question autrement:
Montrer que pour tout polynôme Q,
(P indice k * Q) = f puissance k "rond" Q(f)
avec P indice k = X puissance k
Merci d'avance pour votre aide!
Oui, tu peux le faire avec :
(Pk.Q) = (XkaiXi)
= (aiX(k+i))
par définition de
= aif(k+i)
et comme les puissances d'un endomorphisme correspondent par définition à la loi o de composition des applications, distributive par rapport à +
= fk o aifi
= fk o Q(f)
toujours par application des définitions.
j'avais oublié que
bonne soirée!
Pour l'utilisation des marqueurs situés en dessous de la fenêtre de réponse (gras, citation, indice, exposant, ...)
- clique sur le marqueur voulu
- place la donnée entre les deux marques.
Par exemple, y4
- tu tapes y
- tu cliques sur le symbole X2
- tu tapes 4 entre "(crochet) sup (crochet)" et "(crochet) /sup (crochet)"
merci pour l'information!
à propos de l'exercice, je me demandais si la relation était possible seulement pour Pk, ou pour d'autres polynômes P ?
à mon avis c'est seulement dans ce cas particulier, sinon je pense que cela aurait été précisé, non?
si quelqu'un a une idée...
bonne soirée!
La propriété pourrait se généraliser (en adaptant la formule) à toute base de l'anneau de polynômes. En fait elle traduit simplement le fait que est un homomorphisme d'anneaux de (K[X], +, .) dans (K[f], +, o).
Petite remarque: ma démonstration comporte un abus de notation. Partout où il y a Xk, il aurait fallu écrire Pk. Pour cela il faut remarquer que l'on a
Pk.Pi = Pk+i
Cela ne change pas le fond de la démonstration.
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