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Polynômes de Lagrange
Bonsoir à tous !
Voici un petit morceau d'exercice qui me fait demander votre aide...
Soient n un entier non nul, a_1, a_2, ..., a_n des éléments de K deux à deux distincts.
On définit les polynômes L_1, L_2, ..., L_n par :
pour tout j de [| 1 ; n |], L_j = PRODUIT (pour k=1 à n, k différent de j) (X -a_k)/(a_j - a_k).
J'ai montré que L = (L_1, L_2, ..., L_n) était une base de (K_n-1[X]).
J'ai aussi montré que les coordonnées d'un polynôme P de K_n-1[X] dans cette base était ((P(a_1), P(a_2), ..., P(a_n)).
Mais là je ne vois pas comment écrire la matrice de passage de la base L à la base canonique B de K_n-1[X]. Si quelqu'un peut m'aider...
Amicalement.
la matrice de passage demandée a pour
-ième vecteur colonne le système de coordonnées du polynôme
dans la base
et sauf erreur on doit trouver une matrice de Vandermonde
Autre question :
En prenant t_1, t_2, ..., t_n des éléments de K, comment pourrait-on expliquer qu'il existe un polynôme unique P de degré inférieur ou égal à n-1 tel que pour tout j de [| 1 ; n |], P(a_j) = b_j ???
Merci de votre aide.
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