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Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 21-01-08 à 23:52

Pour 23:50 : oui j'avais vu cette proposition mais tu m'a dis de ne pas déterminer les polynômes dérivées !

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 21-01-08 à 23:52

oui.
En particulier, que valent \Large{f_n^{(q)}(1)} et \Large{f_n^{(q)}(-1)} si q est inférieur ou égal à n-1 ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 21-01-08 à 23:55

Citation :
Pour 23:50 : oui j'avais vu cette proposition mais tu m'a dis de ne pas déterminer les polynômes dérivées !


Je ne t'avais pas donné cette propriété pour cette raison mais c'était simplement pour te donner une preuve du point 3), car tu ne semblais pas sûr de toi quand tu l'a m'a répondu k-q.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 21-01-08 à 23:55

il faut s'assurer que f_n^{(n)}(1)\neq0 et f_n^{(n)}(-1)\neq0 pour affirmer que cela est égale à zéro ?

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 21-01-08 à 23:56

Citation :
Je ne t'avais pas donné cette propriété pour cette raison mais c'était simplement pour te donner une preuve du point 3), car tu ne semblais pas sûr de toi quand tu l'a m'a répondu k-q.

Ok.

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 21-01-08 à 23:58

euh non !
il suffit simplement d'utiliser ton message de 23h50 ainsi que la propriété que j'ai rappelée dans mon message de 23h50.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:05

Bon, mon prochain message sera le dernier. Ensuite, je vais dormir !

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:06

Ah oui, ok je vois.
Je vais reprendre ce calcul par la suite.

Dans les IPPs, j'ai \Bigint_{-1}^{1}%20f_n^{(n)}(t)f_m^{(m)}(t)%20dt=\Bigint_{-1}^{1}%20f_n^{(n+2)}(t)f_m^{(m-2)}(t)%20dt
(par un même raisonnement)

est-ce correct ?

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:07

Ok!

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:14

oui, c'est correct. Ensuite, tu te rends compte qu'il y a un entier qui diminue et l'autre qui augmente et tu tombes alors sur l'intégrale suivante :

\Large{(-1)^{n}\Bigint_{-1}^{1}%20f_n^{(n+m)}(t)f_m^{(m-n)}(t)%20dt}

IL faut montrer qu'elle est nulle. Pourquoi ? (surtout, ne pas chercher midi à quatorze heures)

On se rend compte que les calculs restent valables pour m=n (ça sera utile pour la suite de l'exo) et on obtient alors :

\Large{(-1)^{n}\Bigint_{-1}^{1}%20f_n^{(2n)}(t)f_n(t)%20dt}

Kaiser
P.S : bon allez, je vais encore rester quelques minutes. C'est bientôt terminé.

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:18

attends deux secondes : plus haut, on avait dit qu'on supposait n > m.
Vu les calculs, on va plutôt dire que l'on suppose m > n (vu qu'on a affaire à la dériver (m-n)ième)

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:22

Dans ta première intégrale, je ne comprend comment tu obtiens la puissance désignant le nombre de dérivation effectuée (n+m)fois pour f_n et (m-n)fois la pour f_m.
Est-ce que ça change quelque chose si au lieu de mettre (-1)^n j'avais mis (-1)^m ?

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:24

Si je dérive encore un coup, je vais obtenir :
\Bigint_{-1}^{1}%20f_n^{(n)}(t)f_m^{(m)}(t)%20dt=-\Bigint_{-1}^{1}%20f_n^{(n+3)}(t)f_m^{(m-3)}(t)%20dt

non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:25

zut de zut : on réefface tout et on rerecommence.
Je rectifie mon message de 00h14

on a

\Large{ < P_n,P_m > =(-1)^{m}\Bigint_{-1}^{1}%20f_n^{(n+m)}(t)f_m^{(m-m)}(t)%20dt=(-1)^{m}\Bigint_{-1}^{1}%20f_n^{(n+m)}(t)f_m(t)%20dt}
(du coup, on suppose bien que m > n)

et donc

\Large{ < P_n,P_n > =(-1)^{n}\Bigint_{-1}^{1}%20f_n^{(2n)}(t)f_n(t)%20dt}


Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:27

oui, effectivement, je me suis gourré !
voir correction faite précédemment.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:30

Donc je ok sur l'expression du produit scalaire.
Il reste à montrer que celui-ci est nul.
On peut expliciter cette intégrale ou pas ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:33

J'avais bien préciser :

Citation :
(surtout, ne pas chercher midi à quatorze heures)


ça veut donc dire qu'on peut le montrer sans faire le moindre calcul.

indication : on a m > n donc m+n > 2n donc ...

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:36

on a dériver "trop de fois" dont la fonction f_n^{(n+m)}(t) est la fonction nulle ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:37

exactement.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:39

Pour la suite, on a que ||c_nP_n||_2=||c_n||_2||P_n||_2 d'ou l'utilité de calculer ||P_n||_2:=<P_n,P_n> ?

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:41

j'ai oublié une racine!

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:41

enfin bref, ||P_n||^2_2:=%3CP_n,P_n%3E

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:42

cn est un réel, pas un polynôme donc il sort avec une valeur absolue, pas avec une norme (à noter tout de même que la norme d'un produit n'est pas égal au produit des normes).

Mais sinon,oui, il faut bien calculer ce truc (par contre, la norme c'est avec une racine carrée)
Déjà, que vaut \Large{f_n^{(n)}(t)} (c'est la dérivée 2n-ième d'un polynôme de degré 2n donc c'est simple à calculer) ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:47

si on désigne par a_{2n} le coefficient du monôme du terme de degré 2n, alors f_n^{(n)}(t)=(2n)!a_{2n} ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:48

oui, et que vaut précisément ce coefficient ?

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:50

Bref, on a affaire à une constante, donc ça revient à calculer l'intégrale suivante :

\Large{I_n=\Bigint_{-1}^{1}(1-t^{2})^ndt}

Es-tu d'accord ?
Pour la calculer, essaie alors d'établir une relation de récurrence entre \Large{I_n} et \Large{I_{n+1}}

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:53

Je pense que ce coefficient est 1, donc que l'on doit calculer (2n)!\Bigint_{-1}^1 (1-t^2)^n dt.
On pose t=cos(a), on alors quelque chose de très ressemblant à Wallis.
Je fais ça ce soir, je vais te laisser tranquille !

Merci encore !

Posté par
kaiser Moderateurre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:55

Citation :
Je pense que ce coefficient est 1


non, n'oublie pas qu'il y a un signe "moins" (donc c'est plutôt (-1)^n).

Citation :
On pose t=cos(a), on alors quelque chose de très ressemblant à Wallis.


effectivement

Bon allez, sur ce bonne nuit !

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Polynômes de Legendre 22-01-08 à 00:57

Ok!
Je refais tout ça à tête reposée.
Bonne nuit!!

Posté par
soucoure : Polynômes de Legendre 14-06-08 à 14:25

Salut H_aldnoer et kaiser,

Je rencontre le même genre de problème pour normaliser les polynômes de Legendre :

Je dois déterminer \alpha_p tel que :

5$\displaystyle\alpha_p^2\int_a^b\left[\frac{d^p}{dx^p}(x-a)^p(x-b)^p\right]^2dx

avec un changement de variable affine, je me ramène facilement à ta situation, quoique... comment traiter le \frac{d^p}{dx^p} est-il invariant de tout changement de variable et encore plus en passant par la trigo, fau-il différentier ou que sais-je ?

Merci et désolé si ce message date un peu...

J'ai aussi poster mon problème sur ce forum .

Posté par
soucoure : Polynômes de Legendre 14-06-08 à 14:26

Oups !

5$\displaystyle\alpha_p^2\int_a^b\left[\frac{d^p}{dx^p}(x-a)^p(x-b)^p\right]^2dx=1

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