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Polynômes de Tchebychev
Bonsoir ! 
Voilà l'enoncé de l'exercice:
On considère la suite de polynômes définie par:
n
,
1) Calculer et
2) Montrer pour tout n, pour tout a]-
,[:
3) Soit n un entier naturel non nul. Résoudre l'équation (d'inconnue y): cos(ny)=0. En déduire les racines de appartenant à ]-2;2[.
4) determiner le degré de et en déduire toutes les racines de
, puis l'expression de
en produit de polynômes de
[X] du premier degré.
5) Calculer de deux manières, et en déduire l'expression sous forme de radicaux des réels cos (
/10) et cos (3/10)
alors, ce que j'ai fait:
1) J'ai trouvé et
2) je n'ai pas aboutit a grand chose. pourtant j'ai essayé pas mal d'idée. quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ?
3) j'ai fait: cos ny = 0
donc ny = /2 n
0
y= /2n
et j'ai trouvé comme racine de =-
/4 et =
/4
par contre je n'ai pas factorisé.. je n'ai pas reussi.
5) je trouve
et P = cos(5a)/cos a
voili voilou ^^
Merci d'avance de votre aide
et bonne soirée 
Bonjour, litchee
Une indication pour la deuxième question:
On démontre l'égalité par récurrence.
C'est facile de la vérifier pour n=0 et n=1.
Pour la vérifier au rang n+2 à partir des rangs n et n+1, on utilisera l'égalité
cos(a)+cos(b)= 2 cos ((a+b)/2) cos ((a-b))/2).
Pour la troisième question
Les solutions de cos(ny)=0 sont avec k appartenant à Z.
On en déduira n racines distinctes pour P_n:
avec k=0,...,n-1
Il ne sera pas trop difficile de factoriser P_n ensuite.
j'avais pensé a la recurrence. donc j'ai vérifié et
sans probleme.
Mais c'est apres que je ne vois pas comment faire. meme avec la formule, je ne vois pas bien comment l'utiliser..
je fais:
et donc je ne retrouve ni ni
et je ne vois pas comment utiliser la formule. 
on vut montrer que:
on sait que: pour tout n: .....
1. initialisation:.........à aire
2. hérédité: si c'est vrai jusqu'à l'ordre n-1.
on utilise: 2 cos p cos q = cos (p-q)+cos (p+q)
on obtient:
et c'est fini.......
y a rien à faire, quand je refais, j'obtiens pas ca.
dans l'hérédité:
j'ai bien
mais quand j'utilise 2cosacosb= cos(a+b) + cos(a-b)
j'obtiens pas la meme chose, je me retrouve avec:
et apres quand j'utilise cos a + cos b, j'obtiens:
2cos(a)cos((n+1)a)-2cos((n-1)a)
et je ne vois pas où est ma faute.
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