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Polynomes et automorphismes
Bonjour j'ai un "petit" problème pour une partie de mon DM, si quelqu'un a une idée....
Désignant par n un entier naturel, on se propose de déterminer l'ensemble des polynômes P(X) à coefficients réels
tels quee :
P(X) + P(X + 1) = 2X^n (1)
1) On considère l'application Φ qui, à tout élément Q(X) de R[X], associe le polynôme :
Φ[Q(X)]=Q(X)+Q(X+1)
a) Etablir que Φ est un endomorphisme de R[X].
C'est fait
b) Notant p un entier naturel, on désigne par Φp la restriction de Φ à Rp[X].
i) Montrer que Φ est un endomorphisme de Rp[.X].
c'est fait
ii)Pour k appartenant à{0,.. .p}, déterminer Φ(X^k).
p-1
Je trouve Φ(X^k)=2X^k +
(k parmi p).X^k .
k=0
iii) En déduire que Φp est un automorphisme de Rp[X].
Je vois pas trop
c) Prouver que Φ est un automorphisme de R[X].
d) Démontrer qu'il existe un unique polynôme de R[X] vérifiant la relation (1).
On précisera son degré et on le notera En(X).
oui inversible = bijectif pour un endomorphisme.
Si tu as dû voir cette propriété mais tu ne dois pas t'en souvenir. Cela dit elle se retrouve facilement.
Comment puis-je faire pour montrer qu'il existe un unique polynôme de R[X] vérifiant la relation (1)?
Salut 
Désolé de répondre si tard.
Effectivement c'est échelonné en degré donc c'est une base.
Pour la suite, tu viens de prouver que phi était un automorphisme. Et ce qu'on te demande de démontrer c'est que 2X^n admet un unique antécédent par phi.. Rien de bien difficile à présent 
On a prouver que 
p est un automorphisme de Rp[X], mais pas la généralisation pour automorphisme de R[X].
pour la 2ème partie de l'exo on pose:
n
En[X]= 
an,k.Xk.
k=0
n n
Après avoir vérifié que En[X]+En[X+1]= [an,j+(j parmi k).an,k ]Xj
k=0 k=j
On me demande de déterminer le système dont les an,k sont les solutions. Préciser la valeur de an,n.
Je dirais an,k =0 pour k de 0 à n-1 et an,n =1. Est-ce cela ?
On me demande de calculer E0[X], E1[X] et E2[X]. je trouve respectivement 1, X et x^2.
Ensuite on me demande de montrer que pour tout n différent de 0 En'[X]= n.En-1[X] en partant de la relation (1).
Là je ne trouve pas, je m'emmêle les pinceaux ...
Puis en déduire l'expression de la dérivée k-ième de En[X].
Merci...
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