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Polynômes et développement
Bonjour !
Je n'arrive pas à commencer mon dm de maths (oui c'est un peu pitoyable ^^), un petit coup de pouce serait le bienvenue !
Dans ce problème, n est un entier naturel non nul,
on étudie les couples de polynômes (Fn,Gn) tels que :
(1-X)nFn + XnGn = 1 (R) avec deg(Fn)
n-1 et deg(Gn)n-1
On sait que la solution est unique...
On nous propose au début de développer ((1-X)+X)2n-1 pour en déduire l'existence d'un couple (Fn,Gn) solution du problème, sans écrire ces polynômes dans la base canonique de 
[X].
La consigne est assez simple, mais j'ai du mal à développer le polynôme : j'ai essayé d'appliquer deux fois le binôme de Newton
On utilise le binôme une fois :
Si on note on peut utiliser le binôme une deuxième fois :
On remplaçant dans A on obtient
J'ai deux incertitudes : ai-je bien appliqué le binôme de Newton parce les indices sont un peu particuliers, et maintenant que faire avec deux sommes ?
Voilà, je ne sais pas si cela vous inspire !
Merci d'avance pour vos réponses!
Bonjour
d'abord, ta somme va de 0 à 2n+1 puisque l'exposant est 2n+1
ensuite, l'exposant de (1-X) est 2n+1-k, celui de X est k
enfin ne recommence pas, mais coupe ta somme en deux : une partie dans laquelle (1-X)^n est en facteur, l'autre dans laquelle X^n est en facteur ....
et j'ai oublié de te signaler qu'il te manquait les nombres de combinaisons (les coeffs binômiaux, si bien nommés)
oh oui les coefficients binomiaux ! j'avais complètement oublié (les vacances...)
merci beaucoup pour vos conseils : en effet pour l'exposant je ne savais pas si il fallait mettre k (de 0 à 2n-1) ou 2k-1 (de 0 à n) mais c'est vrai que cette deuxième proposition ne donne pas ce qu'il faut...
en tous les cas merci beaucoup !
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