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Polynomes et Fractions Rationelles

Posté par
savanho 19-06-11 à 12:04

Bonjour j'essaie  de traiter cet exrcice mais j'y arrive pas.SVP veuillez m'apporter une aide.

1)Soient € R et m € N* . Determiner tous les nombres complexes z tels que zm = eim ( On rappelle que eix= cos x + isinx pour tout x € R ).

2) P = (1+X)2n + (1-X)2n ou n > 1 n € .

a- Determiner le coefficient du mônome du plus haut degré de P.
b- Verifier que -1 et 1 ne sont pas racines de P et determiner les racines complexes du polynome P.
c- Decomposer P en produits de facteurs irréductibles dans [X].
d- Decomposer P en produits de facteurs irréductibles dans [X].
e- En deduire que k=0n-1 tan2(2k+1)/4n = 1.


Merci pour votre Compréhension.

Posté par
dhaltere : Polynomes et Fractions Rationelles 19-06-11 à 12:30

quelle "compréhension" ?

tu as quand même réussi à établir quelques résultats personnellement, non ?

tu pourrais nous indiquer jusqu'où tu es allé ?

Posté par
savanhore : Polynomes et Fractions Rationelles 19-06-11 à 15:01

cet exercice est fait en 2 parties.
Pour la 1ère partie j'ai réussi à faire sans problème.
Mais la 2nde partie jai seulement fait la question 2-a) Montrer que 1 et -1 ne sont pas racine de P.
Pour le reste j'y arrive pas.
J'ai juste besoin d'indications pour achever cet exercice

Posté par
dhaltere : Polynomes et Fractions Rationelles 19-06-11 à 15:10

Des indications ?

2b) écrire P(x)=0 et résoudre

2c) si x_k,k\in\N\cap[0;n-1] sont les n racines du polynôme P(x)=\sum\limits_0^na_kx^k, alors P(x)=a_n\prod\limits_0^{n-1}(x-x_k)

2d) grouper les facteurs deux à deux astucieusement pour faire disparaître les termes complexes

2e) Étudier P(0)

Posté par
savanhore : Polynomes et Fractions Rationelles 19-06-11 à 15:45

le 1)et 2-b) j'ai pas encore trouvé

Posté par
savanhopolynomes rationeles 19-06-11 à 16:34

Bonjour j'essaie  de traiter cet exrcice mais j'y arrive pas.SVP veuillez m'apporter une aide.

1)Soient € R et m € N* . Determiner tous les nombres complexes z tels que zm = eim ( On rappelle que eix= cos x + isinx pour tout x € R ).

2) P = (1+X)2n + (1-X)2n ou n > 1 n € .

a- Determiner le coefficient du mônome du plus haut degré de P.
b- Verifier que -1 et 1 ne sont pas racines de P et determiner les racines complexes du polynome P.
c- Decomposer P en produits de facteurs irréductibles dans [X].
d- Decomposer P en produits de facteurs irréductibles dans [X].
e- En deduire que k=0n-1 tan2(2k+1)/4n = 1.

Pour le coefficient du monome du plus haut degré c'est pas comment faire.
C'est seulement le 2.b) Montrer que -1 et 1 ne sont pas racines de P
et quand je veux determiner les racines complexes je resouds p(x)=0 je ne trouve encor pas.

Veuillez m'aider SVP. j'aimerais en finir avec cet exercice

*** message déplacé ***
* Océane > le multi-post n'est pas toléré sur le forum ! *

Posté par
savanhore : polynomes rationeles 19-06-11 à 16:35

seulement 2)b jarive a faire ( Montrer que -1 et 1 ne sont pas racines de P)

*** message déplacé ***

Posté par
dhaltere : Polynomes et Fractions Rationelles 19-06-11 à 16:40

et qu'est-ce que tu as trouvé, alors ?

rappel :
dans \C, l'équation z^n=\rho\ e^{i\alpha}, \rho\in\R^{+*} a exactement n solutions
\Large z_k=\sqrt[n]{\rho}\ e^{i(\frac{\alpha}n+\frac{2k\pi}n)}, k\in\N\cap[0;n-1]

par simple identification
dans \C, l'équation z^m=e^{i\theta m} a exactement m solutions
\Large z_k=e^{i(\theta+\frac{2k\pi}m)}, k\in\N\cap[0;m-1]

Soit P_n(z)=(1+z)^{2n}+(1-z)^{2n}
P(1)=P(-1)=2^{2n}\neq0

On développe suivant la formule du binôme pour obtenir
P_n(z)=\sum\limits_0^{2n}\binom{2n}{k}z^k1^{2n-k}+\sum\limits_0^{2n}\binom{2n}{k}z^k(-1)^{2n-k}
avec (-1)^{2n-k}=(-1)^k, on regroupe les termes et on isole celui de puissance 2n pour obtenir
P_n(z)=2z^{2n}+\sum\limits_0^{2n-1}\binom{2n}{k}z^k(1+(-1)^k)

Résolution de P(z)=0
(1+z)^{2n}=-(1-z)^{2n}
puisque 1 n'est pas racine
(\frac{1+z}{1-z})^{2n}=-1=e^{i\pi}
on utilise la première partie de l'exercice pour établir que
\large \frac{1+z}{1-z}=e^{i\frac{\pi}{2n}+\frac{2k\pi}{2n}}, k\in\N\cap[0;2n-1]

ce qui donne les 2n racines

\Large z_k=\frac{e^{i\frac{\pi}{2n}+\frac{2k\pi}{2n}}+1}{e^{i\frac{\pi}{2n}+\frac{2k\pi}{2n}}-1}

en multipliant en haut et en bas par la partie conjuguée e^{-i\frac{\pi}{2n}+\frac{2k\pi}{2n}}-1, on obtient
\Large z_k=i\frac{\sin(\frac{\pi}{2n}(2k+1)}{\cos(\frac{\pi}{2n}(2k+1))-1}

et en passant à l'angle moitié (rappel : t=\tan(\frac a2), \cos(a)=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \sin(a)=\frac{2t}{1+t^2})
\Large z_k=i\text{cotan}(\frac{\pi}{4n}(2k+1))

d'où le résultat
\Large P_n(z)=2\prod\limits_0^{2n-1}(z-z_k)=2\prod\limits_0^{2n-1}(z-i\text{cotan}(\frac{\pi}{4n}(2k+1))

on scinde ce produit en deux et on effectue le changement de variable j=2n-1-k sur le deuxième
\Large P_n(z)=2\prod\limits_0^{n-1}(z-z_k)\prod\limits_n^{2n-1}(z-z_k)

\Large P_n(z)=2\prod\limits_0^{n-1}(z-z_k)\prod\limits_0^{n-1}(z-z_{2n-1-j})

on évalue
z_{2n-1-j}=\bar{z_k}

ce qui donne
\Large P_n(z)=2\prod\limits_0^{n-1}(z^2+\text{cotan}(\frac{\pi}{4n}(2k+1))^2)

on écrit alors que P_n(0)=1^{2n}+1^{2n}=2=2\prod\limits_0^{n-1}\text{cotan}(\frac{\pi}{4n}(2k+1))^2

d'où le résultat demandé.

Posté par
co13re : polynomes rationeles 19-06-11 à 17:52


1: relis ton cours sur les racines m-ièmes d'une complexes .

2a: Développes P avec le binôme de Newton , puis étudies le coefficient de X^{2n} ( qui est nul)  , puis X^{2n-1}(nul aussi ) puis celui de X^{2n-2} (non nul : = 2n(2n-1)(2n-2)/3 , je crois)

2c : Tu détermines les racines de P dans C , puis tu factorises sur C .

2d :tu regroupes les termes conjugués deux à deux .

2e : a mon avis , tu calcules P(0) .

*** message déplacé ***

Posté par
Pierre_Dre : polynomes rationeles 19-06-11 à 18:05

Bonjour Co13 : le coefficient de X2n ne me semble pas être nul, puisqu'il vaut 2 ... ? Ce sont seulement les puissances impaires qui ont un coefficient nul.

*** message déplacé ***

Posté par
co13re : Polynomes et Fractions Rationelles 19-06-11 à 18:12

Exact ... j'ai lu trop vite l'énoncé .

Posté par
dhaltere : Polynomes et Fractions Rationelles 19-06-11 à 18:15

rhô le gros vilain

Posté par
Pierre_Dre : Polynomes et Fractions Rationelles 19-06-11 à 18:29

Tu vois, Savanho, combien les doubles-posts sont pénibles : nous sommes deux, co13 et moi, à avoir réfléchi à ton problème pour rien puisque Dhalte avait déjà répondu. C'est assez frustrant, et cela ne nous motivera pas beaucoup pour te répondre une autre fois.

Posté par
co13re : Polynomes et Fractions Rationelles 19-06-11 à 18:40

Tout à fait d'accord avec Pierre_D .
Co13

Posté par
dhaltere : Polynomes et Fractions Rationelles 19-06-11 à 18:42

je vote pour un bonnet d'âne à savanho
mais le modérateur l'a déjà épinglé

Posté par
savanhore : Polynomes et Fractions Rationelles 27-06-11 à 09:34

Ok mixi c'est gentil. En tout cas j'ai appris une très bonne leçon


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