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Polynômes et matrices
Bonsoir ! J'ai un exercice (assez long) et quelques questions m'ennuient... Si quelqu'un peut me donner un coup de main, ce n'est pas de refus, merci !
Les hypothèses :
Soit un polynôme P = X^n + a_n-1 X^(n-1) + ... + a_1 X + a0.
Soit k une racine de P. Il existe donc un unique polynôme R appartenant à C[X] tel que P = (X - k) R.
Soit g l'endomorphisme de C^n tel que C soit la matrice de g dans la base canonique.
On a C =
( 0 ... ... ... 0 -a0 )
( 1 0 0 ... ... 0 -a1 )
( 0 1 0 ... ... 0 -a2 )
( 0 0 1 ... ... 0 -a3 )
( ... ... ... ... ... )
( 0 0 ... ... 0 1 -a(n-1) )
On sait que :
P(g) = 0 (application nulle).
Si k est une valeur propre de g (donc de C), alors k est une racine de P.
Questions :
Vérifier que (g - k id)oR(g) = 0 (application nulle).
Conclure que toutes les racines du polynôme P sont des valeurs propres de C.
Montrer que pour tout complexe z la matrice (C - zI) est de rang supérieur ou égal à n-1.
Bonjour
car P(X)=(X-k)R(X)
En revanche, pour la fin, je suis embêtée, on t'a dit quelque part que P a uniquement des racines simples?
Merci Camélia. C'est ce que je pensais faire pour la première question.
Pour la suite et ta question, la réponse est non... Par contre j'ai montré que qu'il n'existait pas de polynôme non nul, de degré inférieur ou égal à n-1 et annulateur de g. Je sais pas si ça peut aider... 
Apparemment tu as montré que P est le polynôme minimal de g.
On te demande de montrer que Ker(C-zI) est de dimension au plus 1. Si z n'est pas valeur propre, le noyau est réduit à 0, donc c'est OK.
Soit donc une racine de P, donc une valeur propre de g. Si
est racine simple de P, le sous-espace propre est de dimension 1, donc c'est aussi OK.
Reste le cas des racines multiples... Tu es dans un cas classique d'étude de la matrice compagnon... Mais je ne vois pas comment conclure uniquement avec ce que tu as ici. J'y réfléchirai encore...
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