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Polynômes et nbres complexes
Bonsoir j'ai un exercice qui est le suivant :
Soit P(X)=X4+2X3+3X²+2X+1
a) Sachant qu'il y a une racine complexe (non réelle) double 
, déterminer toutes les racines de P en fonction de .
b) Ecrire la décomposition de P sur 
en fonction , puis développer cette expression et en déduire .
c) Factoriser le polynôme P(X) sur 
et sur .
Donc a) : J'ai effectué une division polynomiale entre P et (X-)², et je trouve que :
P(X)=(X-)²(X² +X(2+2)+ (3²+4+3))
Je cherche ensuite les racines du trinôme X² +X(2+2)+ (3²+4+3), et je trouve 2 racines imaginaires : X1= -1--(i
(8²+8+8)/2) et X2= -1-+(i(8²+8+8)/2)
Donc les racines de P sont X1, X2 et .
b) C'est la que je coince ...
J'ai développé l'expression P(X)=(X-)²(X² +X(2+2)+ (3²+4+3)) et j'arrive sur le systeme (par identification des coeff des termes de même degré):
23+3²+3+1=0
34+43+3²-1=0
Mais je pense que c'est faux car je n'arrive pas à le résoudre. Est-ce que quelqu'un peut m'aider ?
est une racine double or remarque que le polynome est symetriqedonc 1/
est aussi racine de meme les coeffi. sont reelles donc
est sol.; verifie qu ils different de
... .....
a sol de l equation : a^4+2a^3+3a+1=0 divise par a4 tu retrouve la meme equation avec 1/a sol de meme si tu conjugue tu retrouve sol de la meme equ
Merci 
Pour la question b) ça fait une heure que je cherche
Je n'arrive pas à résoudre le système pour trouver !
(S) : -2- barre - 1/=2
² + 2barre + 2 + barre/ = 3
-²barre - - 2barre = 2
barre = 1
barre = 1 
a² + b² = 1, soit a² = 1 - b² avec = a + ib
Mais aussi barre = 1 ||² = 1 |a+ib| = 1 a+ib = 1 ou -a-ib = 1 a = 1-ib ou a = -1-ib
Est ce que c'est bon ?
Car après je trouve b en remplaçant dans l'une des autres équations, et ensuite je trouve a, mais a et b ne sont pas bons ... je l'ai refait 5 fois au moins 
|a+ib| = 1 a+ib = 1 ou -a-ib = 1?
attention se n est pas vrai pour les complexes !!!
on a ..remarque:
...
:D
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