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polynomes irréductibles
Bonjour, voici cet exercice qui me pose des problèmes, je ne comprends pas comment on démontre si les polynômes sont réductible ou irréductibles principalement quand l'anneau est F.
Merci à ceux qui pourrait m'aider à comprendre cela.
Lesquels des polynômes suivants sont irréductibles dans l'anneau indiqué ? Démontrer vos réponses.
X^2 + 4 ∈ F5[X], X^ + 4 ∈ F7[X], X^2 + 4 ∈ Q[X],
2X^6 + 6X^5 − 18X^3 + 60X^2 + 42 ∈ Q[X],
X^9 + X^3Y^3 − Y ∈ Q[X, Y ].
salut
il manque une puissance au deuxième
le troisième est irréductible dans R[x] donc dans Q[x]
pour le quatrième on peut déjà (essayer de) le factoriser dans R[x] et regarder si la factorisation est rationnelle
sinon on peut aussi chercher s'il admet des racines rationnelles p/q auquel cas q divise 2 et p divise 42 : 
pour le quatrième on peut le considérer comme un polynome en x (resp. y) à coefficient dans Q[y](resp. dans Q[x]) et sa factorisation fait intevenir des racines cubiques ... mais bon ....
Bonjour,
Un polynôme de de degré 2 ou 3 est irréductible si et seulement s'il n'a pas de racine dans le corps
. En particulier
est irréductible si et seulement si
n'est pas un carré dans
.
Ça devrait te permettre de traiter facilement la 1e question.
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