salut

je chercherais le plus petit entier n tel que a^n est un rationnel

exemple
  
donc serait un polynôme minimal dans Q[X] de a

à vérifier

bonjouer et merci

Et avec ça on est sûr que c'est bien le plus petit annulant notre élément?

bonne question !

est-ce que le polynôme P(X) sur Q[X] est-il réductible ?



donc

comme X²-2 n'annule pas a

alors annule a
même logique, à réduire si c'est possible !

R(X) n'est pas réductible sur [X]
il s'écrit: R(X)= (X²-2 X+2)(X²+2 X+2) qui n'est pas dans [smb]Q[smb][X].

Donc R(X) est le polynôme minimal de a???


Mais pour les deux autres qui sont des sommes (i+j etc), c'est fastidieux de calculer des puissances pour en trouver une qui soit rationnelle, non?

ok pour R(X)

pour les 2 autres..

à réfléchir,

Bonjour

Le polynôme minimal sur q[x] de j2 est bien X⁴+2X²+4 il est irréductible et s'annule pour j2.

Sans théorie, c'est difficile de donner des méthodes autres que par essai... Tu peux quand même remarquer que i+j et j+3 sont dans Q[i,3]

salut Camélia, je te laisse @+

Merci de ton aide disdrometre.

Camelia, je ne vois pas trop où tu veux en venir avec Q{i,3]

j=1/2+i3/2, donc j et par suite i+j sont dans Q[i,3] qui est de degré 4 sur Q. Au moins ceci te dit (enfin, j'espère) que le polynôme minimal de i+j est de degré 4.

Ah oui d'accord, j'oublie tout le temps ça. C'est pourtant bien utile.
Merci